Iniettività e suriettività di un'app. lineare

[gaten]

Come posso verificare che un'applicazione lineare è iniettiva ma NON suriettiva?

Con il teorema della dimensione sappiamo che:
$ dimV=dim(Im(f))+dim(Ker(f)) $

Se il sistema omogeneo associato alla matrice della f, ha come soluzione solo il vettore nullo, la dim(Ker(f)) =0 quindi iniettiva.
Possiamo dire che quando una f è iniettiva è sempre suriettiva(dal teorema della dimensione) ???

P.S
Ho un dubbio se ad esempio ho una:
$ f: R^4->R^3 $ quando vado ad applicare il teorema della dimensione, dimV=3 o a 4???

Grazie anticipatamente!

[Sk_Anonymous]

Nell'equazione $dimV=dim(Im(f))+dim(Ker(f))$, $V$ è lo spazio vettoriale di partenza. Se i due spazi vettoriali hanno la stessa dimensione, dalla iniettività discende anche la suriettività, e viceversa. Se lo spazio vettoriale di arrivo ha dimensione maggiore, non è possibile avere una trasformazione lineare suriettiva. Se lo spazio vettoriale di arrivo ha dimensione minore, non è possibile avere una trasformazione lineare iniettiva.

[gaten]

perchè se la dimensione di arrivo è maggiore, non posso avere una trasformazione lineare suriettiva. PERCHE'?

non posso avere una cos del tipo:

$ f:R^3->R^4 $

$ dimV=dimImf+dimKer $ cioè: 3=0+3???

Non posso avere una cos di questo tipo

[Sk_Anonymous]

Come può essere suriettiva, se la dimensione dello spazio di arrivo è $4$, mentre la dimensione dell'immagine è $3$?