Iniettività di un'applicazione lineare.
Ho un problema più che altro teorico, ma con il quale ho avuto
qualche problema dato che non ritrovo quanto fatto in Analisi
(probabilmente a causa di qualche mio errore concettuale)
Comunque dal corso di analisi so che una funzione è iniettiva se e solo se
questa è strettamente crescente o decrescente, è inoltre non è
necessario che abbia uno 0, perchè per esempio e^x è iniettiva nonostante
sia asintotica all'asse x.
Leggendo sul Valabrega la definizione di applicazione linear iniettiva, ho
capito che non solo un'applicazione per essere lineare deve avere uno 0,
priprio perchè Kerf deve contenere solo 0, ma anche che questo 0 deve
essere anche lo 0 dell'applicazione inversa, cioè praticamente il grafico
dovrebbe passare per l'origine.
dove è l'errore?
qualche problema dato che non ritrovo quanto fatto in Analisi
(probabilmente a causa di qualche mio errore concettuale)
Comunque dal corso di analisi so che una funzione è iniettiva se e solo se
questa è strettamente crescente o decrescente, è inoltre non è
necessario che abbia uno 0, perchè per esempio e^x è iniettiva nonostante
sia asintotica all'asse x.
Leggendo sul Valabrega la definizione di applicazione linear iniettiva, ho
capito che non solo un'applicazione per essere lineare deve avere uno 0,
priprio perchè Kerf deve contenere solo 0, ma anche che questo 0 deve
essere anche lo 0 dell'applicazione inversa, cioè praticamente il grafico
dovrebbe passare per l'origine.
dove è l'errore?
Risposte
Non sono sicuramente in grado di aiutarti ma provo a fare alcune osservazioni (di base, come è la mia preparazione):
le funzioni possono non essere lineari (non sono sempre rette), la funzione $f(x)=e^x$ non lo è (neanche $f(x)=x^3$ anche lei se non mi sbaglio sempre crescente e passa per l'origine, mentre $f(x)=1/x$ è sempre decrescente e non incontra mai l'asse x)
le rette invece incontrano sempre una volta l'asse delle x nel punto di coordinate $(x_0;0)$ e una volta l'asse delle y nel punto $(0;y_0)$, se i due punti coincidono allora la retta passa per l'origine.
Queste osservazioni sono utili o ho solo ripetuto l'ovvio?
le funzioni possono non essere lineari (non sono sempre rette), la funzione $f(x)=e^x$ non lo è (neanche $f(x)=x^3$ anche lei se non mi sbaglio sempre crescente e passa per l'origine, mentre $f(x)=1/x$ è sempre decrescente e non incontra mai l'asse x)
le rette invece incontrano sempre una volta l'asse delle x nel punto di coordinate $(x_0;0)$ e una volta l'asse delle y nel punto $(0;y_0)$, se i due punti coincidono allora la retta passa per l'origine.
Queste osservazioni sono utili o ho solo ripetuto l'ovvio?
no le considerazioni aiutano certamente a formalizzare meglio il problema, che a quanto mi pare di ave capito è solo concettuale.
il problema è che le funzioni da R in R sono solo una piccola appendice delle applicazioni lineari, che formalizzano qualsiasi funzione con quante dimensioni si vuole, non solo 2 o 3
il problema è che le funzioni da R in R sono solo una piccola appendice delle applicazioni lineari, che formalizzano qualsiasi funzione con quante dimensioni si vuole, non solo 2 o 3
Le trasformazioni lineari devono mandare il vettore nullo del primo spazio nel vettore nullo del secondo spazio. Insomma, le uniche trasformazioni lineari del tipo $[T:RR->RR]$ hanno equazione $[y=mx]$. Se $[m!=0]$ sono iniettive.
quindi è esatto dire che sono un fascio di rette con centro nell'origine?
e comunque per quale motivo per esempio y=e^x non è un'applicazione lineare?
Ho aggiunto una considerazione al mio ultimo messaggio. Perchè non vale $T(lambda_1x_1+lambda_2x_2)=lambda_1T(x_1)+lambda_2T(x_2)$.
quindi si chiamano applicazioni lineari proprio perchè sono rette nel piano o piani nello spazio?
No, si chiamano applicazioni lineari perchè $T(lambda_1vec(x_1)+lambda_2vec(x_2))=lambda_1T(vec(x_1))+lambda_2T(vec(x_2))$. Stai facendo confusione.
Ciao speculor, ti leggo sempre molto volentieri anche se capisco una minima parte di quello che comunichi.
Il mio professore dell'università mi ha ripresa perchè facevo fatica a pensare in più di tre dimensioni ("Insomma se hai accettato potenze superiori al tre in prima media com'è che ora fai problemi?")
Ora se non ho capito male $x_1$ e $x_2$ possono rappresentare posizioni in uno spazio di anche più di tre dimensioni e se ingrandisco o diminuisco le loro componenti a piacere, sarà ingrandita o diminuita la loro somma nello stesso modo?
(potrei aver detto un'idiozia, nel qual caso dimmelo, poi ripeto la mia preparazione è modesta e tale probabilmente rimarrà)
Il mio professore dell'università mi ha ripresa perchè facevo fatica a pensare in più di tre dimensioni ("Insomma se hai accettato potenze superiori al tre in prima media com'è che ora fai problemi?")
Ora se non ho capito male $x_1$ e $x_2$ possono rappresentare posizioni in uno spazio di anche più di tre dimensioni e se ingrandisco o diminuisco le loro componenti a piacere, sarà ingrandita o diminuita la loro somma nello stesso modo?
(potrei aver detto un'idiozia, nel qual caso dimmelo, poi ripeto la mia preparazione è modesta e tale probabilmente rimarrà)
"gio73":
Ora se non ho capito male $x_1$ e $x_2$ possono rappresentare posizioni in uno spazio di anche più di tre dimensioni e se ingrandisco o diminuisco le loro componenti a piacere, sarà ingrandita o diminuita la loro somma nello stesso modo?
Ciao gio73. Se intendi questo:
$[vec(x_1)inRR^n] ^^ [vec(x_2)inRR^n] rarr [lambda_1vec(x_1)+lambda_2vec(x_2)inRR^n]$
hai senz'altro ragione. Tuttavia, la mia risposta:
"speculor":
No, si chiamano applicazioni lineari perchè $T(lambda_1vec(x_1)+lambda_2vec(x_2))=lambda_1T(vec(x_1))+lambda_2T(vec(x_2))$. Stai facendo confusione.
alla seguente domanda:
"Flamber":
quindi si chiamano applicazioni lineari proprio perchè sono rette nel piano o piani nello spazio?
non era dettata solo dal concetto di dimensione, ma anche dall'eccessiva genericità della domanda medesima. Voglio dire, un piano passante per l'origine è un luogo geometrico, per esempio l'insieme dei punti che, se considerati il secondo estremo di vettori il cui primo estremo è l'origine, rendono i vettori medesimi ortogonali ad una direzione prefissata. Se poi, preso un generico punto su questo piano, voglio per esempio considerare la sua quota funzione della sua ascissa e della sua ordinata, $[z=ax+by]$ per intenderci, il piano stesso diventa il grafico di una trasformazione lineare $[T:RR^2->R]$ secondo le convenzioni adottate per le funzioni di due variabili. Insomma, affermare che un piano passante per l'origine è una trasformazione lineare è piuttosto ardito. Può essere sostenuto, solo a livello di grafico intendo, da chi è in grado di argomentare puntualmente i concetti sottostanti. Non mi sembrava questo il caso.
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