Iniettività di una funzione con parametri
Buongiorno.
Dunque, ho questo esercizio che mi chiede di discutere la funzione che porta a questa matrice
$ ( ( 2 , -1 , 1 ),( t , 1 , 1 ),( 1 , 0 , t ) )$
e mi viene chiesto di individuare se e per quali valori questa funzione sia invertibile.
Potrei procedere con il determinante ma per una serie di motivi (nel mio corso è stata data meno enfasi al determinante e più a lavorare su Immagine e Nucleo) procedo analizzando Immagine e Nucleo.
Dunque procedo ad individuare il Nucleo della funzione per discuterlo, arrivo a questa matrice
$ ( ( 2 , -1 , 1 ),( 0, 2+t , 2-t ),( 0 ,0, t^2+2t-2 ) ) ((0), (0), (0))$
Ora, analizzando secondo il metodo che adotto di solito osservo che il Nucleo avrà dimensione maggiore di 0 (dunque non Iniettiva, dunque non Biettiva, dunque non Invertibile) sicuramente per $ t = -1+- sqrt(3) $
Però osservo la stessa cosa anche per $t = -2$ !!!
Infatti, per $t = -2$, dopo una ulteriore semplificazione della matrice, arriverei a
$ ( ( 2 , -1 , 1 ),( 0 , 0 , 4 ),( 0 , 0 , 0 ) ) $
Che mi suggerirebbe di nuovo la non invertibilità. Questo però è errato.
Noterei la cosa se dovessi discutere i valori sulla matrice di partenza, infatti per t = -2 avrei
$ ( ( 2 , -1 , 1 ),( 0 , 1 , -5 ),( 0 , 0 , 2 ) ) $
Dunque ancora Nucleo uguale a zero, come deve essere...
ma il metodo che ho acquisito mi dice di discutere la matrice dopo la semplificazione a scala.
Dove sta l'inghippo?
Grazie
Dunque, ho questo esercizio che mi chiede di discutere la funzione che porta a questa matrice
$ ( ( 2 , -1 , 1 ),( t , 1 , 1 ),( 1 , 0 , t ) )$
e mi viene chiesto di individuare se e per quali valori questa funzione sia invertibile.
Potrei procedere con il determinante ma per una serie di motivi (nel mio corso è stata data meno enfasi al determinante e più a lavorare su Immagine e Nucleo) procedo analizzando Immagine e Nucleo.
Dunque procedo ad individuare il Nucleo della funzione per discuterlo, arrivo a questa matrice
$ ( ( 2 , -1 , 1 ),( 0, 2+t , 2-t ),( 0 ,0, t^2+2t-2 ) ) ((0), (0), (0))$
Ora, analizzando secondo il metodo che adotto di solito osservo che il Nucleo avrà dimensione maggiore di 0 (dunque non Iniettiva, dunque non Biettiva, dunque non Invertibile) sicuramente per $ t = -1+- sqrt(3) $
Però osservo la stessa cosa anche per $t = -2$ !!!
Infatti, per $t = -2$, dopo una ulteriore semplificazione della matrice, arriverei a
$ ( ( 2 , -1 , 1 ),( 0 , 0 , 4 ),( 0 , 0 , 0 ) ) $
Che mi suggerirebbe di nuovo la non invertibilità. Questo però è errato.
Noterei la cosa se dovessi discutere i valori sulla matrice di partenza, infatti per t = -2 avrei
$ ( ( 2 , -1 , 1 ),( 0 , 1 , -5 ),( 0 , 0 , 2 ) ) $
Dunque ancora Nucleo uguale a zero, come deve essere...
ma il metodo che ho acquisito mi dice di discutere la matrice dopo la semplificazione a scala.
Dove sta l'inghippo?
Grazie
Risposte
Hai sbagliato i conti. Doveva venirti:
$ ( ( 2 , -1 , 1 ),( 0, 1+t , 1-t ),( 0 ,0, 2-2t^2-2t) )$
Per $t!=(-1+-sqrt(5))/2$ è invertibile
$ ( ( 2 , -1 , 1 ),( 0, 1+t , 1-t ),( 0 ,0, 2-2t^2-2t) )$
Per $t!=(-1+-sqrt(5))/2$ è invertibile
Grazie Bokonon per la risposta.
Non so come ti venga quella soluzione ma quella che ho postato corrisponde alla soluzione presente sul testo, dunque non saprei.
Ma anche fosse, il punto del mio quesito era il fatto che, da come è costruita la matrice semplificata, non dovrei avere anche -2 (-1 nella tua versione) per il quale risulterebbe la matrice non invertibile? (se dovessi analizzare la cosa solo dalla matrice semplificata e dalla dimensione del nucleo)
Grazie
Non so come ti venga quella soluzione ma quella che ho postato corrisponde alla soluzione presente sul testo, dunque non saprei.
Ma anche fosse, il punto del mio quesito era il fatto che, da come è costruita la matrice semplificata, non dovrei avere anche -2 (-1 nella tua versione) per il quale risulterebbe la matrice non invertibile? (se dovessi analizzare la cosa solo dalla matrice semplificata e dalla dimensione del nucleo)
Grazie
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