Iniettività applicazioni lineari affini:
Supponiamo che voglia calcolarmi se un'appl. lineare è lineare o affine. Per vedere se è lineare posso sostituire lo 0 alle incognite e se ottengo $f(0,0)=(0,0,0)$ allora è lineare? Ma non dipnde anche dalla funzione stessa? Cioè:
$f1(x,y)=(x-2y,x+y,x+y)$ -> a me risulta lineare, sostituisco lo 0 e ottengo $f(0,0)=(0,0,0)$. Ma è sempre cosi? Perche ad esempio sapevo che alle volte polinomi di 2 grado non risultano lineari. Perche?
Inoltre: Un appl. lineare è sempre affine, ma un appl affine non è detto sia lineare giusto?
Altro dubbio:
Se sono in presenza di un appl lineare affine tipo:
$f2(x,y)=(3x+y,2x,3x+1)$ risulta affine, ma valgono le stesse regole delle lineari per calcolarmi iniettivita e suriettività?
$f1(x,y)=(x-2y,x+y,x+y)$ -> a me risulta lineare, sostituisco lo 0 e ottengo $f(0,0)=(0,0,0)$. Ma è sempre cosi? Perche ad esempio sapevo che alle volte polinomi di 2 grado non risultano lineari. Perche?
Inoltre: Un appl. lineare è sempre affine, ma un appl affine non è detto sia lineare giusto?
Altro dubbio:
Se sono in presenza di un appl lineare affine tipo:
$f2(x,y)=(3x+y,2x,3x+1)$ risulta affine, ma valgono le stesse regole delle lineari per calcolarmi iniettivita e suriettività?
Risposte
Vedo che c'è un bel pò di confusione! un buon libro di algebra lineare (letto con attenzione) risolverebbe gran parte dei tuoi dubbi. Ad ogni modo provo a scioglierne qualcuno...
Le applicazioni lineari sono casi particolari di applicazioni affini. Quindi un'applicazione lineare è affine.
Questa è una condizione necessaria affinchè un'applicazione sia lineare, in altri termini sfrutti la proprietà delle applicazioni lineari di "non spostare lo zero". Ma nota bene che da sola non è sufficiente a garantire la linearità. Devi far vedere che sono rispettate anche le due condizioni che definiscono un'applicazione lineare, cioè che viene conservata l'operazione interna e il prodotto per uno scalare.
Che vuol dire "a volte" ? in ogni caso ti sembra che come funzione mandi rette in rette?
"starsuper":
Supponiamo che voglia calcolarmi se un'appl. lineare è lineare o affine.
Le applicazioni lineari sono casi particolari di applicazioni affini. Quindi un'applicazione lineare è affine.
Per vedere se è lineare posso sostituire lo 0 alle incognite e se ottengo $f(0,0)=(0,0,0)$ allora è lineare?
Questa è una condizione necessaria affinchè un'applicazione sia lineare, in altri termini sfrutti la proprietà delle applicazioni lineari di "non spostare lo zero". Ma nota bene che da sola non è sufficiente a garantire la linearità. Devi far vedere che sono rispettate anche le due condizioni che definiscono un'applicazione lineare, cioè che viene conservata l'operazione interna e il prodotto per uno scalare.
Perche ad esempio sapevo che alle volte polinomi di 2 grado non risultano lineari. Perche?
Che vuol dire "a volte" ? in ogni caso ti sembra che come funzione mandi rette in rette?
grazie della tua rispota. Ho il libro di algebra ma è privo di esempi ed esercizi quindi durante lo svolgimenti di quest'ultimi sono solo. Tutto ok per la parte 1.
Per quanto riguarda la seconda citazione, si è vero, affinche sia lineare deve esserci lo 0 + le altre due condizioni. Ma quindi dovrei sempre applicare le due condizioni alla mia funzione? Non c'è un modo per vederle a occhio?
Mi correggo e tolgo a volte. E' sempre cosi, manda da una retta a una retta. Quindi tutte le f che vedo che hanno grado 2 non sono lineari, ne affini...
??
Per quanto riguarda la seconda citazione, si è vero, affinche sia lineare deve esserci lo 0 + le altre due condizioni. Ma quindi dovrei sempre applicare le due condizioni alla mia funzione? Non c'è un modo per vederle a occhio?
Mi correggo e tolgo a volte. E' sempre cosi, manda da una retta a una retta. Quindi tutte le f che vedo che hanno grado 2 non sono lineari, ne affini...
??
"starsuper":
Per quanto riguarda la seconda citazione, si è vero, affinche sia lineare deve esserci lo 0 + le altre due condizioni. Ma quindi dovrei sempre applicare le due condizioni alla mia funzione?
Ti consiglio per prima cosa di verificare la condizione sullo zero: se la $f$ manda il vettore nullo del primo spazio in un vettore NON nullo del secondo allora certamente non è lineare. In caso contrario passi a verificare le altre due condizioni... e devi farlo sempre, in quanto la forma della funzione potrebbe trarre in inganno... a volte l'intuito ci manda fuori strada, quindi è opportuno fare un controllo anche quando "ad occhio" ti sembra tutto ok.
E' sempre cosi, manda da una retta a una retta
No. Non manda rette in rette. Scusa $f(x)=x^2$ ti sembra una retta?
Comunque se il testo adottato non è sufficiente conviene che ti procuri altri testi... in questa sezione c'è un post apposito in cui sono consigliati alcuni libri.
Ho riguardato meglio le cose e ho un po' piu chiaro il tutto.
Ho una domanda :
$f(x,y)=(xy,x^2-y^2)$ studiandone le proprietà risulta suriettiva, perche?
Io ho ragionato cosi:
Lineare, no
Affine, no
Iniettiva, no, se mando in input (-1,-1) o (1,1) ottengo gli stessi output
Suriettiva, no, non "copre" tutti gli elementi del codominio
Le soluzioni del prof dicono che sia suriettiva, perche ?
Ho una domanda :
$f(x,y)=(xy,x^2-y^2)$ studiandone le proprietà risulta suriettiva, perche?
Io ho ragionato cosi:
Lineare, no
Affine, no
Iniettiva, no, se mando in input (-1,-1) o (1,1) ottengo gli stessi output
Suriettiva, no, non "copre" tutti gli elementi del codominio
Le soluzioni del prof dicono che sia suriettiva, perche ?
Puoi precisare dominio e codominio della funzione?
Scusami, parliamo di $R^2->R^2$
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