Induzione endorfismo
ho risolto un esercizio e purtroppo non sono giunto alla soluzione cercata.
sia $theta:RR[x]_4->RR[x]_4$ l'endomorfismo la cui matrice associata rispetto alla base $E=(1,x,x^2,x^3,x^4)$ è :
$M=((1,0,0,0,0),(0,h,h-4,0,0),(0,0,4,0,0),(0,h-1,h-4,1,0),(1,0,2,0,2))$ con $h in R$
provare che $theta$ induce su $W$ un endomorfismo $phi: W->W$ per ogni $h in RR$ dove $W={p in RR[x]_4 | p(i)=0}$
innanzitutto mi sono calcolato la dimensione e una di base di $W=L(-i+x,1+x^2,i+x^3,-1+x^4)$
ora per provare che $theta$ induce un endomorfismo su $W$ occorre provare che $theta(W)subeW$
io so che (dalla matrice assegnata):
$theta(1)=1+x^4$
$theta(x)=hx+(h-1)x^3$
$theta(x^2)=(h-4)x+4x^2+(h-4)x^3+2x^4$
$theta(x^3)=x^3$
$theta(x^4)=2x^4$
bene allora dato che ho una base di $W$ so che $theta(W)=L(theta(-i+x),theta(1+x^2),theta(i+x^3),theta(1+x^4))$
per calcolarsi l'immagine di $-i+x$ faccio i seguenti passaggi:
$w_1=-i+x-> theta(-1+x)=-i(1+x^4)+hx+(h-1)x^3$
adesso verifico che $theta(-1+x) sube W$ ovvero rispetta la condizione $p(i)=0$.
purtroppo sostituendo $i$ a posto della $x$ in $-i(1+x^4)+hx+(h-1)x^3$ non ottengo un uguaglianza.dove ho sbagliato?
sia $theta:RR[x]_4->RR[x]_4$ l'endomorfismo la cui matrice associata rispetto alla base $E=(1,x,x^2,x^3,x^4)$ è :
$M=((1,0,0,0,0),(0,h,h-4,0,0),(0,0,4,0,0),(0,h-1,h-4,1,0),(1,0,2,0,2))$ con $h in R$
provare che $theta$ induce su $W$ un endomorfismo $phi: W->W$ per ogni $h in RR$ dove $W={p in RR[x]_4 | p(i)=0}$
innanzitutto mi sono calcolato la dimensione e una di base di $W=L(-i+x,1+x^2,i+x^3,-1+x^4)$
ora per provare che $theta$ induce un endomorfismo su $W$ occorre provare che $theta(W)subeW$
io so che (dalla matrice assegnata):
$theta(1)=1+x^4$
$theta(x)=hx+(h-1)x^3$
$theta(x^2)=(h-4)x+4x^2+(h-4)x^3+2x^4$
$theta(x^3)=x^3$
$theta(x^4)=2x^4$
bene allora dato che ho una base di $W$ so che $theta(W)=L(theta(-i+x),theta(1+x^2),theta(i+x^3),theta(1+x^4))$
per calcolarsi l'immagine di $-i+x$ faccio i seguenti passaggi:
$w_1=-i+x-> theta(-1+x)=-i(1+x^4)+hx+(h-1)x^3$
adesso verifico che $theta(-1+x) sube W$ ovvero rispetta la condizione $p(i)=0$.
purtroppo sostituendo $i$ a posto della $x$ in $-i(1+x^4)+hx+(h-1)x^3$ non ottengo un uguaglianza.dove ho sbagliato?
Risposte
Ma questi polinomi sono a coefficienti in $CC$ o in $RR$? Su quale campo?
Poi non ho capito questa:
Poi non ho capito questa:
"mazzy89":
per calcolarsi l'immagine di $-i+x$ faccio i seguenti passaggi:
$w_1=-i+x-> theta(-1+x)=-i(1+x^4)+hx+(h-1)x^3$
l'esercizio non lo specifica ma credo coefficienti in $RR$ dato che il generico elemento di $W$ appartiene ad $RR[x]_4$.
quel passaggio è giustificato dal fatto che l'elemento
$w_1=-i+x$
$theta(w_1)=-itheta(1)+theta(x)=-i(1+x^4)+hx+(h-1)x^3$
quel passaggio è giustificato dal fatto che l'elemento
$w_1=-i+x$
$theta(w_1)=-itheta(1)+theta(x)=-i(1+x^4)+hx+(h-1)x^3$
Beh così di sicuro non va bene, perchè così stai considerando uno spazio che non è nemmeno vettoriale, di vettori a coefficienti in $RR$, sul campo $CC$..
Insomma c'è qualcosa che non va, scrivi per esteso la consegna dell'esercizio, magari è scritto male e lo hai interpretato male.
Insomma c'è qualcosa che non va, scrivi per esteso la consegna dell'esercizio, magari è scritto male e lo hai interpretato male.
la consegna è quella che ho scritto.
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