Induzione biricchina

[miuemia]

se prendo $a_1,...,a_n$ numeri reali allora questi sono tutti uguali fra loro.
lo dimostro per induzione su $n$
per $n=1$ $a_1=a_1$ ok.

suppongi di avere $a_1,...,a_n,a_(n+1)$
ma per ipotesi induttiva $a_1=...=a_n$ ma posso raggruppare anche come $a_2,...,a_n,a_(n+1)$ e sempre per ipotesi induttiva ho che $a_2=...=a_(n+1)$
e quindi per la proprietà transitiva dell'uguaglianza $a_1=a_2=...=a_n=a_(n+1)$

[elgiovo]

La base induttiva non dovrebbe essere $a_1=a_1$, ma $a_1=a_2$.

[miuemia]

no scusa perchè???

[elgiovo]

Perchè se vuoi dimostrare che $n$ numeri consecutivi sono uguali devi dimostrare che i primi due sono uguali.
Quella base induttiva va bene se vuoi dimostrare che ogni numero è uguale a se stesso, che è diverso.

[elgiovo]

D'altra parte te lo dovevi aspettare qualche problemuccio, no?

[miuemia]

esatto...

[Fioravante Patrone1]

"elgiovo":Perchè se vuoi dimostrare che $n$ numeri consecutivi sono uguali devi [bold mio] dimostrare che i primi due sono uguali.
Quella base induttiva va bene se vuoi dimostrare che ogni numero è uguale a se stesso, che è diverso.

falso

miuemia dice:
"... se prendo $a_1,...,a_n$ numeri reali allora questi sono tutti uguali fra loro.
lo dimostro per induzione su $n$ ..."


formalizzando un pochino (la "dose giornaliera consentita") miuemia vuole dimostrare che $P_n$ è vera per ogni $n \ge 1$, dove $P_n$ è:
dati $n$ numeri reali, essi sono tutti uguali fra loro

Allora, come "BASE" posso proprio prendere quella detta da miuemia

Il "trucco" sta invece nella fallacia del "passo induttivo"
per ogni $n \ge 1$ ($P_n$ vera implica $P_{n+1}$ vera)
che può sembrare corretto (non dico altro per non rovinare completamente il gusto di provarci, a chi voglia)


(Si tratta di un classico esempio. Io avevo visto quello delle ragazze bionde con gli occhi azzurri, che se non ricordo male era
proposto sull'Apostol)

[miuemia]

il fatto sta lì poichè nel passo induttivo ho un iniseme di $n+1$ elementi che lo posso vedere come un'unione di due insiemi con $n$ elementi che hanno in comune $n-1$ elementi
allora la dimostrazione del passo induttivo precedente è solo apparente: infatti per n=1 i due insiemi di n elementi hanno in comune n-1 = 0 elementi e non si può quindi dedurre che n+1 = 2 numeri siano uguali.

[Sk_Anonymous]

Siccome mi sono guadagnato,in altre parti del Forum,la fama di pedante,
la vorrei confermare notando che "birichina" si scrive con una sola "c".
Perdonate la mia impudenza:ci sara' modo di ricambiarmi con buona moneta...
karl

[elgiovo]

Mm.. capito. Tale fallacia sta nel fatto che dimostra una cosa a partire dal suo contrario, perchè assume $n>=1$.