Individuare uno spazio vettoriale
Ciao a tutti!
Sono alle prese con i test dell'esame di geometria e mi sono trovato di fronte ad un problema. Devo riuscire ad individuare tra una serie di opzioni quale sia lo spazio vettoriale. Di seguito riporto la domanda nel dettaglio:
Il mio problema è che non conosco un metodo veloce per capire quale delle quattro opzioni sia giusta.
Dalla definizione so che uno spazio vettoriale ha una somma, un prodotto e deve rispettare le otto proprietà ma non avrei tempo per fare tutti i calcoli...
Voi cosa mi consigliate?
Grazie
Sono alle prese con i test dell'esame di geometria e mi sono trovato di fronte ad un problema. Devo riuscire ad individuare tra una serie di opzioni quale sia lo spazio vettoriale. Di seguito riporto la domanda nel dettaglio:
Quale dei seguenti insiemi e' uno spazio vettoriale?
(a) L'insieme delle funzioni reali di una variabile reale derivabili tali che $f'(x) = 8 + f(x)$ per ogni $x$
(b) L'insieme delle soluzioni dell'equazione differenziale $y' = 18$
(c) L'insieme dei polinomi di grado $<= 35$ in $X$ che si annullano per $X = 4$
(d) L'insieme delle funzioni reali di una variabile reale integrabili in $[0,1]$ e con integrale esteso a $[0,1]$ positivo
Il mio problema è che non conosco un metodo veloce per capire quale delle quattro opzioni sia giusta.
Dalla definizione so che uno spazio vettoriale ha una somma, un prodotto e deve rispettare le otto proprietà ma non avrei tempo per fare tutti i calcoli...
Voi cosa mi consigliate?
Grazie
Risposte
A una prima occhiata le soluzioni proposte sono tutti potenziali sottospazi vettoriali, in quanto sottinsiemi di spazi vettoriali, per cui alcune delle proprietà tipo commutativa e associativa te le puoi risparmiare, comunque sono abbastanza ovvie. Le cose chiave da verificare sono:
1. esistenza dello 0;
2. chiusura rispetto alle 2 operazioni.
Comincerei dalla b, che è più facile. Le soluzioni sono del tipo $y=18x + c$. E' immediato vedere che la differenza tra 2 soluzioni è una costante, e la derivata di una costante è $0$, per cui non è più una soluzione. L'insieme dunque non è chiuso rispetto alla somma, quindi non è spazio vettoriale. In alternativa si può anche notare che la funzione nulla, non è soluzione, quindi non è spazio vettoriale perchè non contiene lo 0.
Poi mi cade l'occhio sulla c. Qua noti subito che sommando due polinomi il grado non si alza, e se entrambi si annullano in $x=4$ anche la somma lo farà, quindi è chiuso rispetto alla somma. Analogo ragionamento rispetto alla moltiplicazione per un numero. $0$ è un polinomio di grado minore di 35 e si annulla in $x=4$. Trovato! Questo è lo spazio vettoriale.
Per completezza smontiamo le altre 2:
La d: è chiaro che se moltiplichi la funzione per $-1$ l'integrale non sarà più positivo, quindi l'insieme non è chiuso rispetto alla moltiplicazione per un numero.
La a: Se $f$ appartiene all'insieme, è immediato vedere che $2f$ non appartiene, perchè il termine $8$ non viene raddoppiato. Oppure ancora, la funzione nulla chiaramente non rispetta quell'equazione.
1. esistenza dello 0;
2. chiusura rispetto alle 2 operazioni.
Comincerei dalla b, che è più facile. Le soluzioni sono del tipo $y=18x + c$. E' immediato vedere che la differenza tra 2 soluzioni è una costante, e la derivata di una costante è $0$, per cui non è più una soluzione. L'insieme dunque non è chiuso rispetto alla somma, quindi non è spazio vettoriale. In alternativa si può anche notare che la funzione nulla, non è soluzione, quindi non è spazio vettoriale perchè non contiene lo 0.
Poi mi cade l'occhio sulla c. Qua noti subito che sommando due polinomi il grado non si alza, e se entrambi si annullano in $x=4$ anche la somma lo farà, quindi è chiuso rispetto alla somma. Analogo ragionamento rispetto alla moltiplicazione per un numero. $0$ è un polinomio di grado minore di 35 e si annulla in $x=4$. Trovato! Questo è lo spazio vettoriale.
Per completezza smontiamo le altre 2:
La d: è chiaro che se moltiplichi la funzione per $-1$ l'integrale non sarà più positivo, quindi l'insieme non è chiuso rispetto alla moltiplicazione per un numero.
La a: Se $f$ appartiene all'insieme, è immediato vedere che $2f$ non appartiene, perchè il termine $8$ non viene raddoppiato. Oppure ancora, la funzione nulla chiaramente non rispetta quell'equazione.
Molto interessante!
Mi hai dato prova di come si possa arrivare alla soluzione ragionando sulle risposte piuttosto che facendo diecimila calcoli
Ti ringrazio, ora mi esercito un pò!
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