Indipensenza , D-invariante

[Giulian2]

Salve
Sia $V$ lo spazio vettoriale delle funzioni da $R$ a $R$ che ammettono tutte le derivate, di qualunque ordine e su tutto $R$.
Sia $D: V -> V$ l' operatore lineare di derivazione che ad ogni funzione $f in V$ associa la sua derivata.
Ho questo insieme di funzioni di $V$; $X={(a+xb)(c*sin(x)+d*cos(x))} a,b,c,d in R$

e mi si chiede se :

$L(X)=X$ ? La risposta dovrebbe essere SI visto che X è un sottospazio lineare (correggetemi se sbaglio)

$L(X)$ è D-invariante ? La riposta è ancora SI perchè l' insieme $X$ contiene tutte le derivate (Correggetemi se sbaglio)

Dopo di che mi si chiede se $X$ sia indipendente; ecco questo punto non l' ho capito.
Qualcuno saprebbe rispondere e darmi una definizione chiara.

Grazie

[gugo82]

Indipendente vuol dire, al solito, che se prendi due vettori non entrambi nulli dell'insieme e ne fai una combinazione lineare con coefficienti non entrambi nulli ottieni un vettore non nullo.

La dimostrazione che $X$ è indipendente la puoi fare per assurdo: supponi che esistano due vettori $a+b\ x,\ c\ \cos x+d\ \sin x$ non entrambi nulli e due scalari non entrambi nulli $\alpha,\ \beta$ tali che

$\alpha\ (a+b\ x) +\beta\ (c\ \cos x+d\ \sin x) =0$ (qui $0$ è l'applicazione ovunque nulla in $RR$)

e prova che da ciò si arriva ad una contraddizione.
Potrebbe convenire distinguere un po' di casi.

Altrimenti potresti usare il teorema del wronskiano, ma dubito che tu sappia già cos'è.

[Giulian2]

Grazie.
Ma in questo caso si tratta di indipendenza LINEARE o GEOMETRICA ?

Le altre due risposte vanno bene giusto ?