Indipendenza tra vettori di una base e matrice del cambiamento di base
Ho un problema con questo esercizio:
Siano dati i vettori di $R^3 u= (1, -1, 0), v=(1,0,1), w=(t^2, -t, (1/2(t-t^2)))$
a-) determinare per quali valori di t i vettori sono linearmente indipendenti
b-)Per t=-1 scrivere la matrice dell'applicazione lineare $f: R^3->R^3$ tale che u,v appartengono al nucleo di f e f(w) = 3 rispetto alla base canonica di $R^3$
Allora premetto che il punto b non lo so fare dato che non ho capito come usare la matrice del cambiamento di base
il punto a: Ho fatto così:
$\alpha(u) + \beta(v) + \gamma(w) = (0,0,0)$
Arrivo quindi ad un sistema in cui ho $\alpha, \beta$ espresse in funzione di $\gamma$ e l'ultima equazione data da:
$\gamma(t-0.5(t-t^2)+t^2)=0$ e da qui non so come andare avanti.
Avrei bisogno non tanto di una soluzione completa con tutti i procedimenti quanto più una spiegazione riguardo al come ottenere la soluzione del punto b e cosa sbaglio nello svolgimento del punto a (premetto che so già che esso può essere svolto più velocemente col determinante)
Siano dati i vettori di $R^3 u= (1, -1, 0), v=(1,0,1), w=(t^2, -t, (1/2(t-t^2)))$
a-) determinare per quali valori di t i vettori sono linearmente indipendenti
b-)Per t=-1 scrivere la matrice dell'applicazione lineare $f: R^3->R^3$ tale che u,v appartengono al nucleo di f e f(w) = 3 rispetto alla base canonica di $R^3$
Allora premetto che il punto b non lo so fare dato che non ho capito come usare la matrice del cambiamento di base
il punto a: Ho fatto così:
$\alpha(u) + \beta(v) + \gamma(w) = (0,0,0)$
Arrivo quindi ad un sistema in cui ho $\alpha, \beta$ espresse in funzione di $\gamma$ e l'ultima equazione data da:
$\gamma(t-0.5(t-t^2)+t^2)=0$ e da qui non so come andare avanti.
Avrei bisogno non tanto di una soluzione completa con tutti i procedimenti quanto più una spiegazione riguardo al come ottenere la soluzione del punto b e cosa sbaglio nello svolgimento del punto a (premetto che so già che esso può essere svolto più velocemente col determinante)
Risposte
Per il primo punto, devi risolvere il sistema omogeneo $ ( ( 1 , 1 , t^2 ),( -1 , 0 , -t ),( 0 , 1 , 1/2(t-t^2) ) ) ( ( alpha ),( beta ),( gamma ) ) =0 $
Affinchè le tre colonne siano indipendenti, puoi imporre che il determinante della matrice sia diverso da zero (come già sai), oppure usare Gauss (che in questo caso è particolarmente comodo).
Gauss ti porterà a $ ( ( 1 , 1 , t^2 ),( 0 , 1 , t^2-t ),( 0 , 0 , t^2-t) )$
E' una forma assai semplice perchè le prime due colonne non contengono $t$
Ergo è sufficiente che il terzo pivot della diagonale sia diverso da zero, ovvero $t^2-t!=0 rArr t!=0,1$
Per il secondo problema, tiro ad indovinare ma penso che tu intendessi $f(w) = 3w$ dove $w=(1,1,-1)$
Se è così, allora il problema ti chiede di trovare la matrice diagonalizzabile che abbia:
a ) u e v autovettori associati all'autovalore 0
b ) w autovettore associato all'autovalore 3
Affinchè le tre colonne siano indipendenti, puoi imporre che il determinante della matrice sia diverso da zero (come già sai), oppure usare Gauss (che in questo caso è particolarmente comodo).
Gauss ti porterà a $ ( ( 1 , 1 , t^2 ),( 0 , 1 , t^2-t ),( 0 , 0 , t^2-t) )$
E' una forma assai semplice perchè le prime due colonne non contengono $t$
Ergo è sufficiente che il terzo pivot della diagonale sia diverso da zero, ovvero $t^2-t!=0 rArr t!=0,1$
Per il secondo problema, tiro ad indovinare ma penso che tu intendessi $f(w) = 3w$ dove $w=(1,1,-1)$
Se è così, allora il problema ti chiede di trovare la matrice diagonalizzabile che abbia:
a ) u e v autovettori associati all'autovalore 0
b ) w autovettore associato all'autovalore 3
Grazie mille Bokonon molto chiaro e conciso
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