Indipendenza lineare vettori

[Tye41]

Salve a tutti.

Devo verificare l’indipendenza/dipendenza lineare dei seguenti vettori:

(1, 0, 2, 1); (-1, 1, 0, 0); (1, 1, 4, 2); (-1, 2, 2, 1)

che posso ordinare per colonne ottenendo la matrice A seguente:

\begin{array}{ccc}
1 & -1 & 1 & -1 \\
0 & 1 & 1 & 2 \\
2 & 0 & 4 & 2 \\
1 & 0 & 2 & 1 \\
\end{array}


Procedendo alla riduzione gaussiana, ottengo la matrice:

\begin{array}{ccc}
1 & -1 & 1 & -1 \\
0 & 1 & 1 & 2 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
\end{array}

Dunque il rango di A è 2 e, non essendo massimo, i vettori in esame sono linearmente dipendenti.
Fin qui tutto bene. Ciò che non riesco a capire è che, secondo il prof, il metodo seguito mi dà il vantaggio di individuare facilmente quanti e quali sono i vettori linearmente indipendenti che, secondo lui, nel caso in esame, sono:

(1, 0, 2, 1); (-1, 1, 0, 0)

Ricavabili dalla matrice ridotta mettendo in relazione le righe con pivot con le corrispondenti righe della matrice non ridotta.

Pur rendendomi conto che essi sono effettivamente linearmente indipendenti tra loro, secondo me non sono gli unici ma ne esistono molti altri ad es. i vettori:

(-1, 1, 0, 0) e (1, 1, 4, 2) tanto per citarne soltanto altri due.


Dunque perché il prof è così categorico su quei due vettori e sul metodo della riduzione gaussiana che, oltretutto, mi fa individuare solo 2 vettori tra loro linearmente indipendenti, mentre, come ho detto, ce ne sono molti altri. C’è qualcosa che mi sfugge?

Ringrazio chiunque possa chiarire i miei dubbi.

[Magma1]

Secondo me, è più proficuo disporre i vettori per riga e ridurre per riga: in questo modo i vettori l.i. sono quelli corrispondenti alle righe non nulle.

[Tye41]

Disponendoli per riga, sono pur sempre 2 le righe non nulle nella matrice ridotta e quindi non più di 2 i vettori tra loro linearmente indipendenti che la procedura individua nella corrispondente matrice non ridotta.
Sappiamo, invece, che le coppie di vettori tra loro l.i. sono molte di più. Non riesco a capire l’utilità pratica di questa metodologia.

[Bokonon]

"Tye4":
Dunque perché il prof è così categorico su quei due vettori e sul metodo della riduzione gaussiana che, oltretutto, mi fa individuare solo 2 vettori tra loro linearmente indipendenti, mentre, come ho detto, ce ne sono molti altri. C’è qualcosa che mi sfugge?

Non credo che il prof si fosse fissato su quei due vettori nello specifico
Il senso è che con Gauss-Jordan puoi sempre identificare un insieme di vettori l.i.
Poi nessuno ti vieta di scegliere quelli che preferisci nel caso vi siano altre scelte possibili.

[Tye41]

Grazie a tutti. Mi sembra di capire che l’utilità maggiore di Gauss-Jordan sia quella di farci calcolare velocemente il rango di una matrice che corrisponde poi al numero massimo di vettori tra loro l.i.

[axpgn]

Ma anche molto altro …