Indipendenza lineare e iniettività
Salve ragazzi.
Ieri in un dibattito "acceso" in cui si discuteva sulla base di un sottospazio banale, un utente per dimostrare la sua tesi si è avvalso della seguente "legge":
"Una famiglia di vettori di un k-modulo M , cioè una funzione da un insieme di indici I a un k-modulo M, è linearmente indipendente se e solo se l’applicazione lineare indotta dal k modulo libero su I a M è iniettiva."
C'è qualcuno che è in grado di spiegarmela, magari anche con un esempio pratico? Grazie in anticipo.
Ieri in un dibattito "acceso" in cui si discuteva sulla base di un sottospazio banale, un utente per dimostrare la sua tesi si è avvalso della seguente "legge":
"Una famiglia di vettori di un k-modulo M , cioè una funzione da un insieme di indici I a un k-modulo M, è linearmente indipendente se e solo se l’applicazione lineare indotta dal k modulo libero su I a M è iniettiva."
C'è qualcuno che è in grado di spiegarmela, magari anche con un esempio pratico? Grazie in anticipo.
Risposte
È una semplice osservazione che puoi dimostrare anche da solo ! La definizione che ho usato è solo una riformulazione di quella che conosci già in un linguaggio che ti permette di trattare in modo omogeneo i casi in cui l’insieme di indici è vuoto, finito o infinito. Come è fatto il kernel di una funzione lineare iniettiva?
Invece di parlare di "k-modulo", una complicazione inutile, non si può semplicemente dire "spazio vettoriale"?
Il virgolettato è estrapolato da una discussione in cui avevo fissato k anello commutativo unitario. Mi sembrava un esercizio carino dimostrare che k è un campo se e solo se ogni k-modulo ammette una base, visto che nella dimostrazione si può usare il fatto che l'insieme vuoto è una base dello spazio nullo.
Mi spiace se ho generato confusione in qualcuno, i moduli si studiano il primo semestre del primo anno di università... che siano una complicazione inutile non l'avevo mai sentita... a pensarla così si rischia di fare sei pagine di discussione su una domanda elementare
Mi spiace se ho generato confusione in qualcuno, i moduli si studiano il primo semestre del primo anno di università... che siano una complicazione inutile non l'avevo mai sentita... a pensarla così si rischia di fare sei pagine di discussione su una domanda elementare
Se si pensa di sviluppare la teoria in un corso di algebra lineare dubito che vengano introdotti i moduli.
Comunque non è detto che i moduli si studino il primo anno del primo semestre: quanti anni fa ti sei laureato?
(non ti sto dando del vecchio obv, ma per quanto ne so non si fanno)
Comunque non è detto che i moduli si studino il primo anno del primo semestre: quanti anni fa ti sei laureato?
(non ti sto dando del vecchio obv, ma per quanto ne so non si fanno)
Io ho frequentato il corso di algebra lineare, e sinceramente non ne avevo mai sentito parlare in questi termini, per questo ha aperto il thread... in ogni caso, sarebbe gradita pure una spiegazione veloce (ma chiara), anche perchè metterebbe fine anche all'accesa discussione di ieri.
"Daken97":
Io ho frequentato il corso di algebra lineare, e sinceramente non ne avevo mai sentito parlare in questi termini, per questo ha aperto il thread... in ogni caso, sarebbe gradita pure una spiegazione veloce (ma chiara), anche perchè metterebbe fine anche all'accesa discussione di ieri.
E rispondo anche alla precedente domanda... il nucleo di un applicazione lineare iniettiva è "banale" (da non confondere con l'insieme vuoto).
@anto
Hai ragione non è universale studiarli il primo semestre, ma è certamente possibile. Di sicuro sono un argomento fondamentale della triennale in mate.. che si studino al primo o al secondo cambia poco.. Che poi siano una complicazione inutile è una barzelletta.
Ps: non credo di essere molto più vecchio di te
Hai ragione non è universale studiarli il primo semestre, ma è certamente possibile. Di sicuro sono un argomento fondamentale della triennale in mate.. che si studino al primo o al secondo cambia poco.. Che poi siano una complicazione inutile è una barzelletta.
Ps: non credo di essere molto più vecchio di te
"theproofistrivial":
@anto
Hai ragione non è universale studiarli il primo semestre, ma è certamente possibile. Di sicuro sono un argomento fondamentale della triennale in mate.. che si studino al primo o al secondo cambia poco.. Che poi siano una complicazione inutile è una barzelletta.
Ps: non credo di essere molto più vecchio di te
Va benissimo, ma tornando al thread originario, è possibile spiegare questa legge con un esempio pratico, o magari con un linguaggio differente?
"theproofistrivial":
Che poi siano una complicazione inutile è una barzelletta.
Io non sono d'accordo. Ne è una riprova la proposizione in esame in questo topic; non è niente di profondo, nel caso degli spazi vettoriali essa si riduce alla cosa seguente.
Proposizione. Sia \(X\) uno spazio vettoriale e sia \(V=\{v_1, v_2, \ldots, v_n\}\subset X\). L'insieme \(V\) è linearmente indipendente se e solo se l'applicazione lineare
\[
L\colon \mathbb K^n \to X,\qquad L(\lambda_1,\ldots, \lambda_n)=\sum_{j=1}^n \lambda_j v_j, \]
è ingettiva.
Questa proposizione è molto semplice da dimostrare, è davvero solo una riformulazione della definizione di indipendenza lineare. Presentare questa proposizione direttamente con i moduli, in una discussione di algebra lineare elementare, è a mio modo di vedere disonesto verso il lettore. Serve unicamente a dare una parvenza di profondità. A riprova di ciò, Daken ne è stato giustamente confuso.
Non disprezzo affatto la teoria dei moduli, che ricordo aver studiato al quarto anno di università. L'esercizio di algebra proposto da theproofistrivial sembra anche interessante. Tuttavia, sarebbe stato meglio presentare la proposizione in questa forma, in modo da renderla comprensibile agli utenti alle prese con l'algebra lineare, e poi eventualmente spiegare come questa cosa si generalizza a strutture algebriche più avanzate.
Ma quando mai ho detto che fosse qualcosa di profondo? La prima cosa che ho detto a Daken era che fosse solo una banale riformulazione, che suggerisce come trattare il caso di un insieme di indici infinito o vuoto. Per questo gli ho detto di farsela da solo.
Per quanto mi riguarda, i moduli sono una semplificazione, visto che non c'è un'ipotesi inutile, e li ho usati per poi poter proporre l'esercizio. Se uno non li conosce ci vuole un secondo e mezzo a guardarsi la definizione. Comunque, non è mia abitudine stare a fare polemiche su internet
Per quanto mi riguarda, i moduli sono una semplificazione, visto che non c'è un'ipotesi inutile, e li ho usati per poi poter proporre l'esercizio. Se uno non li conosce ci vuole un secondo e mezzo a guardarsi la definizione. Comunque, non è mia abitudine stare a fare polemiche su internet
"theproofistrivial":
Per quanto mi riguarda, i moduli sono una semplificazione, ...
Vedi, il problema sta proprio qui: per te sono una semplificazione, per altri no (che probabilmente sono la maggioranza).
Questione di punti di vista.
Non c'è niente di male nell'avere visioni diverse, anzi, però quando si vuole spiegare qualcosa a qualcuno, si deve tener conto anche del livello di conoscenze dell'interlocutore altrimenti si rischia di peggiorare la situazione anziché migliorarla
IMHO
Cordialmente, Alex
Per me va bene così, ma alla luce di quella legge, possiamo quindi affermare che l'insieme vuoto è linearmente indipendente, e che quindi è a tutti gli effetti la base del sottospazio banale?
Ti è stato detto in 180 modi che è una sua base.
"anto_zoolander":
Ti è stato detto in 180 modi che è una sua base.
Sì, il problema è che non erano proprio tutti d'accordo con questa tesi.
"Daken97":
Per me va bene così, ma alla luce di quella legge, possiamo quindi affermare che l'insieme vuoto è linearmente indipendente, e che quindi è a tutti gli effetti la base del sottospazio banale?
Se mi posso permettere, io consiglierei di non dedicare tanto tempo a queste sottigliezze; invece, punta a fare esercizi **concreti**. Se ti piace l'algebra, l'esercizio proposto da theproofistrivial, per esempio, è interessante. Prova a dimostrare la proposizione di questo post. Insomma, calcola qualcosa, non ti perdere in elucubrazioni vuote.
Consigli ai giovani matematici e alle giovani matematiche di Georges Elencwajg (MOLTO consigliato)
Faccio un attimo di ordine perché sono stato un po’ confusionario anche io, a sto punto tanto vale chiudere il discorso...
Per dimostrare che l’insieme vuoto è linearmente indipendente, puoi usare la def di indipendenza che ti ho detto, e di cui dissonance ha dato un esempio nel caso finito. Il problema è che per usarla devi già essere d’accordo sul fatto che il modulo libero sull’insieme vuoto è lo spazio nullo.
Perché lo è ? Perche’ c'è un’unica funzione lineare dallo spazio nullo in ogni altro R-modulo, e c’è un’unica funzione dall’insieme vuoto in ogni altro insieme. Quindi è soddisfatta la proprietà universale che definisce l’Rmodulo libero su un generico insieme. Questo tra l’altro, è il motivo per cui è utile parlare di moduli in questo contesto, visto che con gli spazi vettoriali, essendo tutti liberi, si confondono le acque.
Per dimostrare che l’insieme vuoto è linearmente indipendente, puoi usare la def di indipendenza che ti ho detto, e di cui dissonance ha dato un esempio nel caso finito. Il problema è che per usarla devi già essere d’accordo sul fatto che il modulo libero sull’insieme vuoto è lo spazio nullo.
Perché lo è ? Perche’ c'è un’unica funzione lineare dallo spazio nullo in ogni altro R-modulo, e c’è un’unica funzione dall’insieme vuoto in ogni altro insieme. Quindi è soddisfatta la proprietà universale che definisce l’Rmodulo libero su un generico insieme. Questo tra l’altro, è il motivo per cui è utile parlare di moduli in questo contesto, visto che con gli spazi vettoriali, essendo tutti liberi, si confondono le acque.
Comunque sono d’accordo con dissonance sul fatto che è una cosa che al momento forse ti crea più confusione che altro...
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