Indipendenza lineare e basi
Ciao a tutti.
Allora, partendo dalle seguenti definizioni:
V1, ...,Vk Sono linearmente dipendenti se presi a1,...,ak coeficienti dove almeno 1 è diverso da 0 si ha: a1*V1+....+ak*Vk = 0.
se gli coeficienti devono essere tutti ugiali a zero affincehè sia rispettata l'uguaglianza: a1*V1+....+ak*Vk = 0, allora si dicono linearmente indipendenti.
fin qua ci sono. poi mi dice (gli appunti):
se i vettori sono linearmente indipendenti sono anche una base del sottospazio da loro generato e il loro numero è la loro dimensione (quidni se k=5 -> ho 5 vettroi -> la dimensione della base = 5).
poi contuna dicendo:
se invece sono inearmente dipendenti allroa è possibile ricavare uno di loro come combinazione lineare degli altri. quindi vuoldire che dei nostri k vettori ce n'è uno che non mi serve per poter rappresentare la base dello sottospazio da loro generato.
anche fin qua ci sono.
poi dice: faccendo dei vettori una matrice e risolvendola uguale a zero (Ax = 0) se risulta che tutti i miei coefficienti devono essere uguali a zero affinchè questa uguaglianza sia rispettata allora i miei vettori son olinearmente indipendenti.
Volevo chiedere se questo è giusto. poi volevo chiedere come faccio a capire quale vettore puo' essere espresso come combinazione lineare degli altri ? si va ad occhio e tentativi ?
grazie a tutti.
Allora, partendo dalle seguenti definizioni:
V1, ...,Vk Sono linearmente dipendenti se presi a1,...,ak coeficienti dove almeno 1 è diverso da 0 si ha: a1*V1+....+ak*Vk = 0.
se gli coeficienti devono essere tutti ugiali a zero affincehè sia rispettata l'uguaglianza: a1*V1+....+ak*Vk = 0, allora si dicono linearmente indipendenti.
fin qua ci sono. poi mi dice (gli appunti):
se i vettori sono linearmente indipendenti sono anche una base del sottospazio da loro generato e il loro numero è la loro dimensione (quidni se k=5 -> ho 5 vettroi -> la dimensione della base = 5).
poi contuna dicendo:
se invece sono inearmente dipendenti allroa è possibile ricavare uno di loro come combinazione lineare degli altri. quindi vuoldire che dei nostri k vettori ce n'è uno che non mi serve per poter rappresentare la base dello sottospazio da loro generato.
anche fin qua ci sono.
poi dice: faccendo dei vettori una matrice e risolvendola uguale a zero (Ax = 0) se risulta che tutti i miei coefficienti devono essere uguali a zero affinchè questa uguaglianza sia rispettata allora i miei vettori son olinearmente indipendenti.
Volevo chiedere se questo è giusto. poi volevo chiedere come faccio a capire quale vettore puo' essere espresso come combinazione lineare degli altri ? si va ad occhio e tentativi ?
grazie a tutti.
Risposte
Direi che hai preso appunti correttamente!
Siano $v_1$,$v_2$, ... ,$v_n$ vettori di uno spazio vettoriale $V$ su un corpo $K$. Conveniamo inoltre sul fatto che con la notazione $((x_(1i)),(x_(2i)),(.),(.),(.),(x_(ni)))$ si vogliano rappresentare le coodinate del $i$-esimo vettore in una fissata base (ad esempio quella canonica).
Si vuole dire per quali coefficienti $alpha_i$ del corpo vale la relazione:
$alpha_1v_1+alpha_2v_2+ $...$ + alpha_nv_n = 0$.
Esplicitando le coordinate...
$alpha_1((x_(11)),(x_(21)),(.),(.),(.),(x_(n1)))+alpha_2((x_(12)),(x_(22)),(.),(.),(.),(x_(n2)))+alpha_n((x_(1n)),(x_(2n)),(.),(.),(.),(x_(n n))) = 0$
...s'ottiene il sistema lineare omogeneo in $i$ equazioni, $n$ incognite:
$alpha_1x_(11)+alpha_2x_(12)+ ... +alpha_nx_(1n) = 0 $
$...$
$...$
$alpha_1x_(n1)+alpha_2x_(n2)+ ... +alpha_nx_(n n) = 0$
le cui soluzioni hanno una struttura di $K$-spazio vettoriale.
La conclusione è ora immediata: le coordinate di ogni vettore dello spazio delle soluzione rappresentano una possibile soluzione al nostro problema... E' allora chiaro che, presi $v_1$,$v_2$, ... ,$v_n$ linearmente indipendenti, si avrà che lo spazio delle soluzioni sarà formato dal solo vettore nullo, quindi gli $alpha_i$ dovranno essere, per forma di cose, tutti nulli...
OK?
Siano $v_1$,$v_2$, ... ,$v_n$ vettori di uno spazio vettoriale $V$ su un corpo $K$. Conveniamo inoltre sul fatto che con la notazione $((x_(1i)),(x_(2i)),(.),(.),(.),(x_(ni)))$ si vogliano rappresentare le coodinate del $i$-esimo vettore in una fissata base (ad esempio quella canonica).
Si vuole dire per quali coefficienti $alpha_i$ del corpo vale la relazione:
$alpha_1v_1+alpha_2v_2+ $...$ + alpha_nv_n = 0$.
Esplicitando le coordinate...
$alpha_1((x_(11)),(x_(21)),(.),(.),(.),(x_(n1)))+alpha_2((x_(12)),(x_(22)),(.),(.),(.),(x_(n2)))+alpha_n((x_(1n)),(x_(2n)),(.),(.),(.),(x_(n n))) = 0$
...s'ottiene il sistema lineare omogeneo in $i$ equazioni, $n$ incognite:
$alpha_1x_(11)+alpha_2x_(12)+ ... +alpha_nx_(1n) = 0 $
$...$
$...$
$alpha_1x_(n1)+alpha_2x_(n2)+ ... +alpha_nx_(n n) = 0$
le cui soluzioni hanno una struttura di $K$-spazio vettoriale.
La conclusione è ora immediata: le coordinate di ogni vettore dello spazio delle soluzione rappresentano una possibile soluzione al nostro problema... E' allora chiaro che, presi $v_1$,$v_2$, ... ,$v_n$ linearmente indipendenti, si avrà che lo spazio delle soluzioni sarà formato dal solo vettore nullo, quindi gli $alpha_i$ dovranno essere, per forma di cose, tutti nulli...
OK?
si, fin qua chiaro. ma se i miei vettori sono linearmente dipendenti, vuoldire che uno di questi vettori lo posso anche togliere visto che non è indispensabile dato che è la combinazione lineare degli altri. come faccio a trovare quale vettore è che devo eliminare? certe volte lo si vede ad occhio nudo e certe volte no ... c'è qualche modo particollare per individuarlo ?
"BoG":
si, fin qua chiaro. ma se i miei vettori sono linearmente dipendenti, vuoldire che uno di questi vettori lo posso anche togliere visto che non è indispensabile dato che è la combinazione lineare degli altri. come faccio a trovare quale vettore è che devo eliminare? certe volte lo si vede ad occhio nudo e certe volte no ... c'è qualche modo particollare per individuarlo ?
Negli esercizi "scolastici" si vede abbastanza facilmente quali sono i vettori che si possono scrivere come combinazione lineare degli altri...
Altrimenti si va per tentativi...
Tuttavia esiste un procedimento (Gram-Shmidt) che potrebbe fare al caso nostro... Ma non ne vale la pena secondo me...
hmm mcredo anche io che non ne valga la pena 
... magari dopo me lo vado a vedere x curiosita' !!
intanto ti ringrazio dell'aiuto.
buona serata
... magari dopo me lo vado a vedere x curiosita' !!intanto ti ringrazio dell'aiuto.
buona serata
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