Indipendenza lineare di \( \sin \) e \( \cos \)
[ot]E' la prima volta che mi capita di verificare l'indipendenza lineare di funzioni --e non di vettori. La cosa mi gasa, ma ...[/ot]
Devo verificare l'indipendenza di
\[ \sin t \, , \; \cos t \]
Un'idea poco formale ce l'avrei: le due funzioni chiaramente non differiscono per una semplice dilatazione.
Se per assurdo lo fossero allora, quando una si annulla, dovrebbe annullarsi anche l'altra. Il che chiaramente non succede.
Puo' funzionare, in questo modo*?
Piu' che altro vado un po' in crisi a pensare a come verificare che quattro, cinque, ...otto funzioni siano linearmente indipendenti --non per i conti chiaramente.
___
* Una procedura simile la userei per verificare che
\[ \sin t \; , \, \sin 2t \]
non sono linearmente dipendenti. Sempre rifacendomi al giochetto sporco qui sopra: per \( t \equiv \pi /2 \) una si annulla, l'altra no.
Devo verificare l'indipendenza di
\[ \sin t \, , \; \cos t \]
Un'idea poco formale ce l'avrei: le due funzioni chiaramente non differiscono per una semplice dilatazione.
Se per assurdo lo fossero allora, quando una si annulla, dovrebbe annullarsi anche l'altra. Il che chiaramente non succede.
Puo' funzionare, in questo modo*?
Piu' che altro vado un po' in crisi a pensare a come verificare che quattro, cinque, ...otto funzioni siano linearmente indipendenti --non per i conti chiaramente.
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* Una procedura simile la userei per verificare che
\[ \sin t \; , \, \sin 2t \]
non sono linearmente dipendenti. Sempre rifacendomi al giochetto sporco qui sopra: per \( t \equiv \pi /2 \) una si annulla, l'altra no.
Risposte
Forse si potrebbe dire che l'uguaglianza
A sint + B cos t
ė valida qualunque t solo se A = B = 0 e quindi le funzioni sono indipendenti.
Sul ragionamento intuitivo, non mi convince il fatto che il ragionamento che richiama la dilatazione prende due oggetti "in assoluto", isolati dal contesto (sempre pensando intuitivamente), mentre la nozione di indipendenza considera anche il loro orientamento nello spazio. Ma questo pensando ai "vettori freccia". Mi sono spiegata di bestia.... beh... buon appetito
A sint + B cos t
ė valida qualunque t solo se A = B = 0 e quindi le funzioni sono indipendenti.
Sul ragionamento intuitivo, non mi convince il fatto che il ragionamento che richiama la dilatazione prende due oggetti "in assoluto", isolati dal contesto (sempre pensando intuitivamente), mentre la nozione di indipendenza considera anche il loro orientamento nello spazio. Ma questo pensando ai "vettori freccia". Mi sono spiegata di bestia.... beh... buon appetito
"jitter":
Forse si potrebbe dire che l'uguaglianza
A sint + B cos t
ė valida qualunque t solo se A = B = 0 e quindi le funzioni sono indipendenti.
Be', ma questo e' proprio questo quello che voglio verificare
"jitter":
mentre la nozione di indipendenza considera anche il loro orientamento nello spazio
?
"giuscri":
[quote="jitter"]Forse si potrebbe dire che l'uguaglianza
A sint + B cos t
ė valida qualunque t solo se A = B = 0 e quindi le funzioni sono indipendenti.
Be', ma questo e' proprio questo quello che voglio verificare[/quote]
Sì, ci chiediamo per quali A e B si ha A sint + B cost = 0 qualunque t. Questo avviene per A = B = 0, pertanto le due funzioni sono indipendenti, come volevi dimostrare.
"giuscri":
[quote="jitter"]mentre la nozione di indipendenza considera anche il loro orientamento nello spazio
?[/quote]
Hai ragione, era un'idea vagamente intuitiva.... balenga.
Scusami, Giuscri, credo di aver sbagliato...
A sint + B cost = 0
B = - A tg t
Potrebbero quindi esistere A, B diversi da zero che soddisfano l'uguaglianza....? Ma allora le due funzioni sarebbero dipendenti, ma non è così che deve risultare, giusto?
mumble, mumble... tu che pensi?
A sint + B cost = 0
B = - A tg t
Potrebbero quindi esistere A, B diversi da zero che soddisfano l'uguaglianza....? Ma allora le due funzioni sarebbero dipendenti, ma non è così che deve risultare, giusto?
mumble, mumble... tu che pensi?
p.s. La spiegazione che mi viene in mente è che il passaggio B = - A tg t lo posso scrivere sotto la condizione $ t != pi /2$, mentre la nostra uguaglianza deve valere qualunque t.
A questo punto si può dire che, affinché A sin t + B cos t = 0 qualunque t, deve essere A=B=0, da cui la conclusione che le funzioni indipendenti?
scusate per il pasticcio
A questo punto si può dire che, affinché A sin t + B cos t = 0 qualunque t, deve essere A=B=0, da cui la conclusione che le funzioni indipendenti?
scusate per il pasticcio
Ciao jitter 
,
No, questo non lo puoi scrivere: dovresti escludere infiniti valori per \( t \).
Non e' cosi' che mi aspetto piu' che altro.
Ok, quindi quel passaggio non lo puoi fare. Ma cosi' non hai dimostrato nulla ...
,"jitter":
\[ A \sin t + B \cos t = 0 \Rightarrow B = - A \tan t \]
No, questo non lo puoi scrivere: dovresti escludere infiniti valori per \( t \).
"jitter":
Potrebbero quindi esistere \( A \), \( B \) diversi da zero che soddisfano l'uguaglianza....? Ma allora le due funzioni sarebbero dipendenti, ma non è così che deve risultare, giusto?
Non e' cosi' che mi aspetto piu' che altro.
"jitter":
p.s. La spiegazione che mi viene in mente è che il passaggio
\[ B = - A \tan t \]
lo posso scrivere sotto la condizione $ t != pi /2 $, mentre la nostra uguaglianza deve valere qualunque \( t \).
Ok, quindi quel passaggio non lo puoi fare. Ma cosi' non hai dimostrato nulla ...
"giuscri":
Ciao jitter
[quote="jitter"]
\[ A \sin t + B \cos t = 0 \Rightarrow B = - A \tan t \]
No, questo non lo puoi scrivere: dovresti escludere infiniti valori per \( t \). [/quote]
Sono d'accordo: dovrei escludere tutti i valori per cui cost = 0.
Ora riparto dalla domanda originaria che si fa quando si vuol sapere se due vettori sono indipendenti:
Av + Bw = 0 ... per quali A e B?
1) Se ottengo A e B entrambi nulli, allora i miei due vettori sono indipendenti
2) Altrimenti sono dipendenti
Nel nostro caso abbiamo ottenuto A e B nulli, quindi... perché dici che non si conclude nulla?
"jitter":
Nel nostro caso abbiamo ottenuto A e B nulli, quindi... perché dici che non si conclude nulla?
Quando/come l'abbiamo ottenuto questo risultato*? Con quello che ho postato all'inizio? Forse... Ma sono alla ricerca di una conferma
___
* Cioe'
\[ A \sin t + B \cos t = 0 \Leftrightarrow A, B \equiv 0 \]
(l'implicazione inversa e' chiaramente banale).
Sì, secondo me sì. È come avere Ak + Bh = 0. Siccome abbiamo escluso B = - A k/ h, non ci resta che A = B = 0, da cui la conclusione.
Ma mi sa che non ti convince ancora
Ma mi sa che non ti convince ancora
Mi sa che avete ragione tutti e due e dite più o meno la stessa cosa.
Io la dire così:
$ sint $ e $ cost $ sono linermente indipendenti sse
$ Asint+Bcost=0 AA t $ ,
cioè $ Asint+Bcost $ è la funzione identicamente nulla. Quindi basta osservare che c'è un t per il quale l'espressione non si annulla per $ A, B!= 0 $ , es. $ pi /4 $ (oppure basta osservare che cost e sint non si annullano mai contemporaneamente).
Il passaggio
$ B=-Atant $
non si può fare non tanto perché cos t si annulla per alcuni valori di t (anche per quello), ma soprattutto perché, risolvendo per B, si ha un B variabile al variare di t, ma noi cerchiamo i coefficienti di una combinazione lineare, devono essere quelli per ogni t, mica possono essere variabili!
Non stiamo cercando dei valori di A e B che annullano l'espressione per un t dato, ma che rendano l'espressione la funzione identicamente nulla, il che avviene solo per A=B=0. Spero di essermi spiegata abbastanza chiaramente.
Io la dire così:
$ sint $ e $ cost $ sono linermente indipendenti sse
$ Asint+Bcost=0 AA t $ ,
cioè $ Asint+Bcost $ è la funzione identicamente nulla. Quindi basta osservare che c'è un t per il quale l'espressione non si annulla per $ A, B!= 0 $ , es. $ pi /4 $ (oppure basta osservare che cost e sint non si annullano mai contemporaneamente).
Il passaggio
$ B=-Atant $
non si può fare non tanto perché cos t si annulla per alcuni valori di t (anche per quello), ma soprattutto perché, risolvendo per B, si ha un B variabile al variare di t, ma noi cerchiamo i coefficienti di una combinazione lineare, devono essere quelli per ogni t, mica possono essere variabili!
Non stiamo cercando dei valori di A e B che annullano l'espressione per un t dato, ma che rendano l'espressione la funzione identicamente nulla, il che avviene solo per A=B=0. Spero di essermi spiegata abbastanza chiaramente.
p.s. errata corrige sono line indip se è la funzione identicamente nulla solo per A,B=0
"jitter":
Siccome abbiamo escluso B = - A k/ h, non ci resta che A = B = 0, da cui la conclusione.
Non so che dire. Quest'idea non mi convince per nulla: il fatto che tu non abbia possibilita' di dividere per zero non ti implica che \( A, \, B \) siano nulli.
[ot]
"gabriella127":
ma noi cerchiamo i coefficienti di una combinazione lineare, devono essere quelli per ogni t, mica possono essere variabili!
Mmm. Non so. Ci sarebbe da pensarci sulla generalita' di questa affermazione. L'insieme delle funzioni continue non e' un campo? Allora probabilmente posso costruire lo spazio vettoriale delle funzioni continue, sul campo delle funzioni continue (cosi' che gli scalari non siano numeretti fissati). No?
Boh. Da approfondire ...[/ot]
[ot]
Mmm. Non so. Ci sarebbe da pensarci sulla generalita' di questa affermazione. L'insieme delle funzioni continue non e' un campo? Allora probabilmente posso costruire lo spazio vettoriale delle funzioni continue, sul campo delle funzioni continue (cosi' che gli scalari non siano numeretti fissati). No? Boh. Da approfondire ...[/ot][/quote]
Nell'esempio di sinx e cosx era chiaro che il campo in considerazione era R. Non mi pare che le funzioni continue siano un campo, se definiamo come prodotto del campo il prodotto di funzioni, non è vero che elemento del campo ha reciproco, ad esempio $ 1/(senx $ non è il reciproco di $ senx $ poiché non è definito per x=0.
Ma capisco quello che vuoi dire e ammettiamo che sia un campo. Allora definiamo lo spazio vettoriale delle funzioni continue sul campo delle funzioni continue, cosicché gli scalari sono anch'essi funzioni. Il ragionamento sul fatto che gli scalari sono fissati non cambia. Ad esempio, consideriamo un generico vettore di R^3 scritto tramite una base:
$ x=alpha x_1+beta x_2+gamma x_3 $ ,
le coordinate del vettore rispetto a quella base sono uniche, fissate.
Consideriamo un vettore dello spazio delle funzioni con scalari anch'essi funzioni, scritto sempre come combinazione lineare di una base:
$ f(x)=alpha(x)f_1(x)+beta(x) f_2(x)+gamma(x)f_3(x) $,
le funzioni $ alpha(x),beta(x),gamma(x) $ (gli scalari) sono funzioni uniche e fissate in quanto scalari, è chiaro che poi sono funzioni e il loro valore varia con x.
Comunque mai visto uno spazio vettoriale su un campo di funzioni, ma non è che io faccia testo.
"gabriella127":
ma noi cerchiamo i coefficienti di una combinazione lineare, devono essere quelli per ogni t, mica possono essere variabili!
Mmm. Non so. Ci sarebbe da pensarci sulla generalita' di questa affermazione. L'insieme delle funzioni continue non e' un campo? Allora probabilmente posso costruire lo spazio vettoriale delle funzioni continue, sul campo delle funzioni continue (cosi' che gli scalari non siano numeretti fissati). No?
Boh. Da approfondire ...[/ot][/quote]Nell'esempio di sinx e cosx era chiaro che il campo in considerazione era R. Non mi pare che le funzioni continue siano un campo, se definiamo come prodotto del campo il prodotto di funzioni, non è vero che elemento del campo ha reciproco, ad esempio $ 1/(senx $ non è il reciproco di $ senx $ poiché non è definito per x=0.
Ma capisco quello che vuoi dire e ammettiamo che sia un campo. Allora definiamo lo spazio vettoriale delle funzioni continue sul campo delle funzioni continue, cosicché gli scalari sono anch'essi funzioni. Il ragionamento sul fatto che gli scalari sono fissati non cambia. Ad esempio, consideriamo un generico vettore di R^3 scritto tramite una base:
$ x=alpha x_1+beta x_2+gamma x_3 $ ,
le coordinate del vettore rispetto a quella base sono uniche, fissate.
Consideriamo un vettore dello spazio delle funzioni con scalari anch'essi funzioni, scritto sempre come combinazione lineare di una base:
$ f(x)=alpha(x)f_1(x)+beta(x) f_2(x)+gamma(x)f_3(x) $,
le funzioni $ alpha(x),beta(x),gamma(x) $ (gli scalari) sono funzioni uniche e fissate in quanto scalari, è chiaro che poi sono funzioni e il loro valore varia con x.
Comunque mai visto uno spazio vettoriale su un campo di funzioni, ma non è che io faccia testo.
"gabriella127":
Nell'esempio di \( \sin x \) e \( \cos x \) era chiaro che il campo in considerazione era \( \mathbb{R} \).
Certo ...non a caso, ho messo tutto in [ot]. Era solo che m'ha dato da pensare la decisione con cui hai detto --ok, non testualmente-- che gli scalari sono numeretti fissati.
"gabriella127":
se definiamo come prodotto del campo il prodotto di funzioni ...
Vero. Allora
\[ \mathcal{C}^0 \, , \, + \, , \, \circ \]
dovrebbe funzionare, no?
"gabriella127":
... è chiaro che poi sono funzioni e il loro valore varia con x.
Ok. M'interessava solo tirare fuori questo fatto: e' probabile che non necessariamente siano numeri.
Certo, purché sia un campo, anche un campo di patate e pomodori va bene!
Prendiamo due numeri reali $a,b$ tali che valga l'uguaglianza $a sen(t) + b cos(t)=0 $ $ AAt in RR$; se dimostreremo che i coefficienti devono essere entrambi nulli, avremo l'indipendenza delle due funzioni.
L'uguaglianza deve valere per ogni $t$ e dunque, in particolare, deve valere per $t=0$ e $t=pi/2$.
Per $t=0$ abbiamo $a sen(0)+b cos(0)=0$, da cui $b=0$.
Per $t=pi/2$ abbiamo $a sen(pi/2)+ b cos(pi/2)=0$ donde $a=0$.
Ch'è quanto volevamo.
L'uguaglianza deve valere per ogni $t$ e dunque, in particolare, deve valere per $t=0$ e $t=pi/2$.
Per $t=0$ abbiamo $a sen(0)+b cos(0)=0$, da cui $b=0$.
Per $t=pi/2$ abbiamo $a sen(pi/2)+ b cos(pi/2)=0$ donde $a=0$.
Ch'è quanto volevamo.
Vogliamo dimostrare che non esistono \(a,b\in \mathbb{R}\) non contemporaneamente nulli tali che \(a\cos t+b\sin t=0\) identicamente.
Chiaramente deve necessariamente aversi \(a\neq 0\neq b\) (poiché coseno e seno non sono identicamente nulle), perciò se per assurdo le due funzioni non fossero indipendenti allora la funzione \(\tan x\), lì dove definita, dovrebbe essere costante; ma ciò è assurdo.
Chiaramente deve necessariamente aversi \(a\neq 0\neq b\) (poiché coseno e seno non sono identicamente nulle), perciò se per assurdo le due funzioni non fossero indipendenti allora la funzione \(\tan x\), lì dove definita, dovrebbe essere costante; ma ciò è assurdo.
Ma proprio a nessuno e' piaciuta l'idea di vedere che non sono vincolate negli stessi punti?
Va be' ...
Va be' ...
Più analitica...
Le funzioni \(\cos t\) e \(\sin t\) sono soluzioni della EDO \(\ddot{x}(t)+x(t)=0\) ed il loro wronskiano, i.e. il determinante:
\[
W(t):= \begin{vmatrix} \cos t & \sin t\\
-\sin t & \cos t
\end{vmatrix}
\]
è identicamente uguale a \(1\); per un noto risultato, le due funzioni sono linearmente indipendenti.
Le funzioni \(\cos t\) e \(\sin t\) sono soluzioni della EDO \(\ddot{x}(t)+x(t)=0\) ed il loro wronskiano, i.e. il determinante:
\[
W(t):= \begin{vmatrix} \cos t & \sin t\\
-\sin t & \cos t
\end{vmatrix}
\]
è identicamente uguale a \(1\); per un noto risultato, le due funzioni sono linearmente indipendenti.
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