Indipendenza lineare
come determinare (senza l'uso di matrici) i valori dei parametri s,t per cui il sistema (u,v,w) è indipendente?
u=(1,t,0) v=(0,1,t) w=(s,0,1)
u=(1,t,0) v=(0,1,t) w=(s,0,1)
Risposte
Sei proprio sicuro di non volere usare le matrici? (Ti basterebbe mettere ogni vettore in una riga, calcolare il determinante e determinare i valori per cui esso è diverso da zero!)
Se vuoi usare un metodo più "lungo" scrivi il sistema relativo alla definizione di indipendenza lineare: praticamente cerca i valori $x,y,z$ tali che $xu+yv+zw=0$: essi dipenderanno da $s,t$ e, con un po' di conti, puoi capire quali siano quelli da scartare (non hai indipendenza) imponendo che $x=y=z=0$.
Se vuoi usare un metodo più "lungo" scrivi il sistema relativo alla definizione di indipendenza lineare: praticamente cerca i valori $x,y,z$ tali che $xu+yv+zw=0$: essi dipenderanno da $s,t$ e, con un po' di conti, puoi capire quali siano quelli da scartare (non hai indipendenza) imponendo che $x=y=z=0$.
lo so che con le matrici è più veloce, volevo cercare di spiegarmi senza di esse come fare..... Con le matrici avevo praticamente che il sistema è indipendente per s(t)^2 diverso da -1 invece nn riesco a trovarmi un risultato decente impostando un sistema più o meno ho fatto appunto come dicevi tu....
Il sistema viene
$\{(x+sz=0),(tx+y=0),(ty+z=0):}$
la cui soluzione unica è $x=y=z=0$. Quindi, analizzando in questo modo il problema trovi che i vettori sono sempre linearmente indipendenti... e questo è falso!
Infatti il determinante della matrice formata dai tre vettori è $1+st^2$ e si annulla per $s=-1/t^2$ (una iperbole).
Come vedi procedere nel modo che tu richiedi ti porta lontano dalla verità!
$\{(x+sz=0),(tx+y=0),(ty+z=0):}$
la cui soluzione unica è $x=y=z=0$. Quindi, analizzando in questo modo il problema trovi che i vettori sono sempre linearmente indipendenti... e questo è falso!
Infatti il determinante della matrice formata dai tre vettori è $1+st^2$ e si annulla per $s=-1/t^2$ (una iperbole).
Come vedi procedere nel modo che tu richiedi ti porta lontano dalla verità!
$\{(x+sz=0),(tx+y=0),(ty+z=0):} => \{(x=-sz),(-stz+y=0),(z=-ty):} =>st^2y+y=0 => (st^2+1)*y=0$ che ammette come unica soluzione y=0 solo se $st^2+1!=0$, mentre quando $st^2+1=0$ ammette anche soluzioni diverse da quella banale $(0,0,0)$
In pratica per risolvere il problema senza usare le matrici devi stare molto attento alla discussione dei parametri, invece lo studio del determinante mette in evidenza la discussione dei parametri.
In pratica per risolvere il problema senza usare le matrici devi stare molto attento alla discussione dei parametri, invece lo studio del determinante mette in evidenza la discussione dei parametri.
Grazie ragazzi.
Ooooooopppppppsssss..... mentre facevo i conti mi sono cancellato una t con una $-t$ apparsa dal nulla...
e mi sembrava strana che non venisse fuori il determinante da nessuna parte! Thx @melia!
e mi sembrava strana che non venisse fuori il determinante da nessuna parte! Thx @melia!
Anni di discussione di equazioni e sistemi con gli studenti delle superiori saranno pur serviti a qualcosa! 
Non lo dire a me che faccio le esercitazioni di Geometria!
Ma mettersi a fare gli esercizi mentre si mangia non è una cosa sensata!
Ma mettersi a fare gli esercizi mentre si mangia non è una cosa sensata!
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