INDIPENDENZA LINEARE
Chi mi aiuta con questo esercizio?!
U e V sono vettori linearmente indipendenti di R^3 e W è un vettore ortogonale sia a U che a V:
1. U,V,W formano una base di R^3?
2. esiste un vettore non nullo di R^3 ortogonale a u,v,w?
U e V sono vettori linearmente indipendenti di R^3 e W è un vettore ortogonale sia a U che a V:
1. U,V,W formano una base di R^3?
2. esiste un vettore non nullo di R^3 ortogonale a u,v,w?
Risposte
Prova a prendere $w=(0,0,0)$.
Però chiede se esiste un vettore non nullo, se prendo w=(0 0 0) è un vettore nullo.
Da come è scritto l'esercizio, direi che puoi prendere $$u=(1,0,0),\qquad v=(0,1,0),\qquad w=(0,0,0).$$ Soddisfano le richieste che $u$ e $v$ siano linearmente indipendenti e siano entrambi ortogonali a $w$. A questo punto, venendo alle due domande, la risposta alla prima è negativa, la risposta alla seconda positiva, in quanto il vettore $(0,0,1)$ è ortogonale a $u$, $v$ e $w$.
Ma dove è scritto che $w$ dev'essere non nullo?
Ma stiamo leggendo lo stesso esercizio? Per come ho capito io, il significato della prima domanda è: dati due vettori $u$ e $v$ linearmente indipendenti e un vettore $w$ ortogonale a entrambi, è sempre vero che $u$, $v$ e $w$ formano una base? Non vedo scritto da nessuna parte che $w$ deve essere scelto non nullo, e in modo che $u$, $v$ e $w$ siano linearmente indipendenti. Per come ho interpretato l'esercizio, il fatto sta proprio nello scegliere $w$ come il vettore nullo.
"Non nullo" lo ha aggiunto lei. Lo so anche io che non ha senso chiedersi quello che dice lei, infatti non me lo chiedo. Questo mi sembra un esercizio del tipo "dimostrare o confutare". La sua dimostrazione mi va benissimo, ma vale per un esercizio in cui è specificato che $w$ sia un vettore non nullo.
Non è richiesto che formino una base, è richiesto che due siano linearmente indipendenti e il terzo sia ortogonale a entrambi. 
Ti do tre vettori con qualche condizione e alla fine ti chiedo "Formano una base?". La risposta dev'essere generale, a meno che non si richieda di aggiungere altre condizioni... Questo è l'ABC degli esercizi 
Ti do tre vettori con qualche condizione e alla fine ti chiedo "Formano una base?". La risposta dev'essere generale, a meno che non si richieda di aggiungere altre condizioni... Questo è l'ABC degli esercizi
Modificare tre volte un messaggio non vale.
Comunque, la domanda è di una banalità sconcertante, ed è scritta abbastanza chiaramente, direi. È una domanda alla quale si risponde "sì", oppure "no". La risposta è "no", perché nel caso in cui il vettore $w$ sia nullo il giochino non funziona. È un caso patologico? Può non piacere? Me ne sto, ma basta a rispondere no.
È come un teorema. Lo applica se lo può applicare. In un caso in cui non può, non aggiunge ipotesi per farlo funzionare.
Quindi, se l'esercizio è quello che c'è scritto, la mia risposta è giusta. Se lei decide di aggiungere la richiesta che $w$ sia non nullo, allora la sua dimostrazione funziona. Questo ormai è chiaro a tutti, quindi piantiamola qui e balista sceglierà se svolgere il suo esercizio (di balista) o il suo (di Lei).
Scusi, ma non mi piace essere accusato ingiustamente.
Comunque, la domanda è di una banalità sconcertante, ed è scritta abbastanza chiaramente, direi. È una domanda alla quale si risponde "sì", oppure "no". La risposta è "no", perché nel caso in cui il vettore $w$ sia nullo il giochino non funziona. È un caso patologico? Può non piacere? Me ne sto, ma basta a rispondere no.
È come un teorema. Lo applica se lo può applicare. In un caso in cui non può, non aggiunge ipotesi per farlo funzionare.
Quindi, se l'esercizio è quello che c'è scritto, la mia risposta è giusta. Se lei decide di aggiungere la richiesta che $w$ sia non nullo, allora la sua dimostrazione funziona. Questo ormai è chiaro a tutti, quindi piantiamola qui e balista sceglierà se svolgere il suo esercizio (di balista) o il suo (di Lei).
Scusi, ma non mi piace essere accusato ingiustamente.
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