INDIPENDENZA LINEARE

[balista1]

Siano dati 3 vettori v1,v2,v3 non nulli di R^4, sia E=L[v1,v2,v3] e si supponga la dimE=3

1) E' vero che i vettori v1,v2,v3 sono linearmente indipendenti?

2) Possiamo trovare un vettore w che appartiene a R^4 tale che l'insieme dei vettori ( v1,v2,v3,w) generi R^4 ?

[Nico769]

Ci provo:
1) In generale, non è vero. Ad esempio, non è vero per $ v_{1}=v_{2} =v_{3}= (1,1,1,1) $ .
2) Sempre in generale, è possibile $ \Leftrightarrow $ non si può scrivere il vettore $w$ come combinazione lineare dei vettori $ v_{1},v_{2},v_{3}$

[balista1]

Io credevo ke perchè la base di E è 3 allora significava che i tre vettori formano una base e di conseguenza sono linearmente indipendenti.

[Nico769]

Per definizione, una base di uno spazio vettoriale è un sistema di generatori linearmente indipendente.

Tu hai $ E=\mathcal{L}[v_{1},v_{2},v_{3}] $, che è un sistema di generatori. Per essere linearmente indipendente, i tre vettori devono "essere fatti" in modo che nessuno di loro può essere "scritto" come combinazione lineare degli altri due (o anche, tramite il concetto di rango, che il rango della matrice contente i tre vettori sia $3$, in questo caso). Spero di aver centrato il dubbio