Indipendenza lineare
Ragazzi, ho un dubbio teorico.
Se ho tre vettori e devo calcolare se sono linearmente indipendenti o dipendenti, devo semplicemente risolvere un sistema lineare associato o calcolare il rango della matrice associata.
Però ciò che non mi è chiaro è: se il rango è minore di tre e quindi non sono tutti e tre linearmente indipendenti, dico che i tre vettori non sono linearmente indipendenti o dico che alcuni lo sono ed altri no?
Ad esempio, dati i vettori $(1, 0, 2)$, $(0, 1, -1)$ e $(2, 1, 3)$, la matrice associata ha rango 2.
Dico che i tre vettori non sono linearmente indipendenti o dico che solo 2 di essi sono linearmente indipendenti?
So che invece se essi fossero parte di un insieme finito di vettori, direi che non è un insieme linearmente indipendente.
Se ho tre vettori e devo calcolare se sono linearmente indipendenti o dipendenti, devo semplicemente risolvere un sistema lineare associato o calcolare il rango della matrice associata.
Però ciò che non mi è chiaro è: se il rango è minore di tre e quindi non sono tutti e tre linearmente indipendenti, dico che i tre vettori non sono linearmente indipendenti o dico che alcuni lo sono ed altri no?
Ad esempio, dati i vettori $(1, 0, 2)$, $(0, 1, -1)$ e $(2, 1, 3)$, la matrice associata ha rango 2.
Dico che i tre vettori non sono linearmente indipendenti o dico che solo 2 di essi sono linearmente indipendenti?
So che invece se essi fossero parte di un insieme finito di vettori, direi che non è un insieme linearmente indipendente.
Risposte
"Mr.Mazzarr":
Però ciò che non mi è chiaro è: se il rango è minore di tre e quindi non sono tutti e tre linearmente indipendenti, dico che i tre vettori non sono linearmente indipendenti o dico che alcuni lo sono ed altri no?
Ovviamente piu' cose sai, meglio e'. In un tema d'esame direi: piu' informazioni dai, meglio e' per il tuo voto.
"Mr.Mazzarr":
Ad esempio, dati i vettori $(1, 0, 2)$, $(0, 1, -1)$ e $(2, 1, 3)$, la matrice associata ha rango 2.
Dico che i tre vettori non sono linearmente indipendenti o dico che solo 2 di essi sono linearmente indipendenti
Vedi sopra.
Pero' temo --anche da altri post-- che non ti sia chiaro cosa emerge dal calcolo del rango. Come ti dicevo qui se sai il rango --a meno di tecniche* che non conosco-- conosci anche quali sono i vettori linearmente indipendenti e quali no.
___
Per inciso io il calcolo del rango lo faccio con il procedimento di Kronecker.
"Mr.Mazzarr":
Ovviamente piu' cose sai, meglio e'. In un tema d'esame direi: piu' informazioni dai, meglio e' per il tuo voto
Io credo che, invece, avrei risposto in riferimento ai 3 vettori indipendenti senza aggiungere altro. Non so come siano i criteri di giudizio, ma forse è meglio una risposta completa che non rischia di essere ridondante.
In bocca al lupo per il tuo esame!
Salve Mr.Mazzarr,
dato \( E \) uno spazio vettoriale su un campo \( K \) rispetto ad \( + \) e \( \cdot \), ed \(v_1,v_2,...,v_n \in E \), \(v_1,v_2,...,v_n \in E \) sono linearmente indipendenti (dipendenti) su \( K \) se \( \{v_1,v_2,...,v_n \} \) è libero (legato) su \( K \) ...
"Mr.Mazzarr":
Ragazzi, ho un dubbio teorico.
Se ho tre vettori e devo calcolare se sono linearmente indipendenti o dipendenti, devo semplicemente risolvere un sistema lineare associato o calcolare il rango della matrice associata.
dato \( E \) uno spazio vettoriale su un campo \( K \) rispetto ad \( + \) e \( \cdot \), ed \(v_1,v_2,...,v_n \in E \), \(v_1,v_2,...,v_n \in E \) sono linearmente indipendenti (dipendenti) su \( K \) se \( \{v_1,v_2,...,v_n \} \) è libero (legato) su \( K \) ...
"garnak.olegovitc":
dato \( E \) uno spazio vettoriale su un campo \( K \) rispetto ad \( + \) e \( \cdot \), ed \(v_1,v_2,...,v_n \in E \), \(v_1,v_2,...,v_n \in E \) sono linearmente indipendenti (dipendenti) su \( K \) se \( \{v_1,v_2,...,v_n \} \) è libero (legato) su \( K \) ... quindi \( (1, 0, 2),(0, 1, -1),(2, 1, 3) \) sono lin. indipendenti (dipendenti) su \(K \) se \( \{(1, 0, 2),(0, 1, -1),(2, 1, 3)\}\) è libero (legato) su \( K \)...
Eh?...
EDIT:
dato \( E \) uno spazio vettoriale su un campo \( K \) rispetto ad \( + \) e \( \cdot \), ed \(v_1,v_2,...,v_n \in E \), \(v_1,v_2,...,v_n \in E \) sono linearmente indipendenti (dipendenti) su \( K \) se \( \{v_1,v_2,...,v_n \} \) è libero (legato) su \( K \) ...
Si ...ma che vuol dire che un sistema di vettori e' linearmente dipendente sul campo? Ma soprattutto, che c'entra con il topic?
@giuscri,
bhè.. pg 42 di Serge Lang - Algebra Lineare
bhè si appunto... ho letto tutto d'un fiato.. ed ho scritto senza pensare...
"giuscri":
Si ...ma che vuol dire che un sistema di vettori e' linearmente dipendente sul campo
bhè.. pg 42 di Serge Lang - Algebra Lineare
"giuscri":
Ma soprattutto, che c'entra con il topic?
bhè si appunto... ho letto tutto d'un fiato.. ed ho scritto senza pensare...
"giuscri":
[quote="Mr.Mazzarr"]Però ciò che non mi è chiaro è: se il rango è minore di tre e quindi non sono tutti e tre linearmente indipendenti, dico che i tre vettori non sono linearmente indipendenti o dico che alcuni lo sono ed altri no?
Ovviamente piu' cose sai, meglio e'. In un tema d'esame direi: piu' informazioni dai, meglio e' per il tuo voto.
"Mr.Mazzarr":
Ad esempio, dati i vettori $(1, 0, 2)$, $(0, 1, -1)$ e $(2, 1, 3)$, la matrice associata ha rango 2.
Dico che i tre vettori non sono linearmente indipendenti o dico che solo 2 di essi sono linearmente indipendenti
Vedi sopra.
Pero' temo --anche da altri post-- che non ti sia chiaro cosa emerge dal calcolo del rango. Come ti dicevo qui se sai il rango --a meno di tecniche* che non conosco-- conosci anche quali sono i vettori linearmente indipendenti e quali no.
___
Per inciso io il calcolo del rango lo faccio con il procedimento di Kronecker.[/quote]
Se ad una domanda di quel tipo rispondo che solo i primi due vettori (per dire) sono linearmente indipendenti mentre il terzo è linearmente dipendente, è una risposta giusta? Perchè non è un insieme di vettori, sono 3 vettori '' liberi ''.
Se invece mi dice che quei vettori appartengono ad un insieme di vettori, so che posso dire che è un insieme di vettori linearmente dipendente.
[ot]
Bello ...e chi e' questo Lang?
bhè si appunto... ho letto tutto d'un fiato.. ed ho scritto senza pensare...[/quote]
Cioe', ma ti pare, Garnak?, ti pare che intervenire cosi serva a qualcosa? --mi riferisco all'utilita' per l'utente che chiede chiarimenti.
Non sta a me giudicare (nel senso che non sono moderatore), ma interventi come quelli sopra sono privi di senso, a mio parere.[/ot]
Il terzo e' linearmente dipendente da chi, da che cosa?
Nel senso che non vuoi che vadano pensati tutti e tre insieme? E come puoi imporlo? Scrivendolo a fianco, forse ...
...
Io credo che in grammatica ci sia un termine specifico per indicare questa proprieta' delle parole ...tanto non la conosco, ma e' `linearmente dipendente da'/`linearmente indipendente da'.
Se prendi due vettori, questi sono linearmente dipendenti quando ciascuno puoi pensarlo come multiplo dell'altro --e' proprio la definizione, eh.
Quando dico che i vettori in
\[ S := \{ \mathbf{v}_1, \ldots, \mathbf{v}_p \} \]
sono linearmente indipendenti significa che non riesco a farli dipendere l'uno dall'altro in modo `linearmente'. Cioe' che non riusciro' mai a scrivere
\[ \mathbf{v}_i = \sum_{j \neq i} \alpha_j \mathbf{v}_j \]
La dipendenza lineare e' una dipendenza: di un vettore rispetto ad un altro o rispetto ad una famiglia di vettori.
[ot]Come diceva Gugo da qualche parte un paio di settimane fa
Be' ...sono d'accordo!
Che c'entra?... Dico che finche' il termine ha un suo senso preciso in linguaggio umano/quotidiano/mortale, usalo come perno per ricordarti l'intero concetto. 
[/ot]
Buongiorno, comunque.
"garnak.olegovitc":
bhè.. pg 42 di Serge Lang - Algebra Lineare
Bello ...e chi e' questo Lang?
"garnak.olegovitc":
[quote="giuscri"]Ma soprattutto, che c'entra con il topic?
bhè si appunto... ho letto tutto d'un fiato.. ed ho scritto senza pensare...[/quote]
Cioe', ma ti pare, Garnak?, ti pare che intervenire cosi serva a qualcosa? --mi riferisco all'utilita' per l'utente che chiede chiarimenti.
Non sta a me giudicare (nel senso che non sono moderatore), ma interventi come quelli sopra sono privi di senso, a mio parere.[/ot]
"Mr.Mazzarr":
Se ad una domanda di quel tipo rispondo che solo i primi due vettori (per dire) sono linearmente indipendenti mentre il terzo è linearmente dipendente, è una risposta giusta?
Il terzo e' linearmente dipendente da chi, da che cosa?
"Mr.Mazzarr":
Perchè non è un insieme di vettori, sono 3 vettori '' liberi ''.
Nel senso che non vuoi che vadano pensati tutti e tre insieme? E come puoi imporlo? Scrivendolo a fianco, forse ...
"Mr.Mazzarr":
Se invece mi dice che quei vettori appartengono ad un insieme di vettori, so che posso dire che è un insieme di vettori linearmente dipendente.
...
Io credo che in grammatica ci sia un termine specifico per indicare questa proprieta' delle parole ...tanto non la conosco, ma e' `linearmente dipendente da'/`linearmente indipendente da'.
Se prendi due vettori, questi sono linearmente dipendenti quando ciascuno puoi pensarlo come multiplo dell'altro --e' proprio la definizione, eh.
Quando dico che i vettori in
\[ S := \{ \mathbf{v}_1, \ldots, \mathbf{v}_p \} \]
sono linearmente indipendenti significa che non riesco a farli dipendere l'uno dall'altro in modo `linearmente'. Cioe' che non riusciro' mai a scrivere
\[ \mathbf{v}_i = \sum_{j \neq i} \alpha_j \mathbf{v}_j \]
La dipendenza lineare e' una dipendenza: di un vettore rispetto ad un altro o rispetto ad una famiglia di vettori.
[ot]Come diceva Gugo da qualche parte un paio di settimane fa
[la Matematica] come tutte le cose umane, è soprattutto ragionamento, parola e inventiva."
Be' ...sono d'accordo!
Che c'entra?... Dico che finche' il termine ha un suo senso preciso in linguaggio umano/quotidiano/mortale, usalo come perno per ricordarti l'intero concetto. [/ot]Buongiorno, comunque.
Intendi dire che devo scrivere che il terzo vettore è linearmente dipendente dai primi due?
E che i primi due sono linearmente indipendenti. Da niente però, in quanto indipendenti.
E che i primi due sono linearmente indipendenti. Da niente però, in quanto indipendenti.
"Mr.Mazzarr":
Intendi dire che devo scrivere che il terzo vettore è linearmente dipendente dai primi due?
Boh, se vuoi. Quello che devi scrivere non lo so ...ne facevo piu' una questione di comprensione `personale'.
"Mr.Mazzarr":
E che i primi due sono linearmente indipendenti. Da niente però, in quanto indipendenti.
Si, guarda. Immagino il psot di prima non sia una gemma ne' di logica ne' di chiarezza. Spero pero' qualcosa si sia capito.
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