Indicare una matrice A

[Blackorgasm]

Si indichi una matrice $A in RR^(3x3)$ tale che:

$A$ sia diagonalizzabile

$kerA={x in RR^3: x_1+3x_2+3x_3=0}$

$ImA=<( ( 1 ),( 1 ),( 1 ) )>$

Allora trovo una base del $ker$, per esempio $kerA=<( ( -3 ),( 0 ),( 1 ) ),( ( -3 ),( 1 ),( 0 ) )>$
dalla teoria so che i due vettori della base del $ker$ sono autovettori di autovalore 0.

imposto la base di $RR^3$ ovvero $RR^3=<( ( -3 ),( 0 ),( 1 ) ),( ( -3 ),( 1 ),( 0 ) ), v>$ con $v$ autovettore che devo stabilire

conosco che $ImA= = = <( ( 1 ),( 1 ),( 1 ) )>$

quindi $v$ sarà multiplo del vettore facente parte di $ImA$, per esempio $v=( ( 2 ),( 2 ),( 2 ) )$

a questo punto ho stabilito $A$, quindi

A= $( ( -3 , -3 , 2 ),( 1 , 0 , 2 ),( 0 , 1 , 2 ) )*( ( 0 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 1/2 ) )*( ( -3 , -3 , 2 ),( 1 , 0 , 2 ),( 0 , 1 , 2 ) )^-1$

è giusto l'esercizio?

[cirasa]

L'esercizio è giusto. E' chiaro che la matrice trovata sarà diagonalizzabile (è simile ad una matrice diagonale).

Non capisco perchè ti sei complicato la vita, prendendo come vettore $v=(2,2,2)^t$ scegliendolo come autovettore di autovalore $1/2$.
Potevi tranquillamente prendere $v=(1,1,1)$ e imporre che fosse autovettore di autovalore $1$.
L'importante era $v$ completasse la base di $"ker"A$ ad una base di $RR^3$.

Comunque ripeto, secondo me, l'esercizio è ok.

[Blackorgasm]

si si ovvio, volevo solo mettere in evidenza quello che avevo fatto grazie per la risposta