Indicare applicazione lineare
In $RR^3$ si considerino i sottospazi
$V={x in RR^3: x_1-3x_2-3x_3=0} , W={x in RR^3: 2x_1+x_2+x_3=0}$
Si indichi una applicazione lineare $f:RR^3->RR^3$ tale che
°$f$ sia iniettiva,
°per ogni $v in V$ si abbia $f(v) in W$
Si determini la matrice $A in RR^(3x3)$ tale che $f=L_A$.
Allora intanto mi sono trovato una base di entrambi gli spazi, quindi per esempio
$V=<( ( 0 ),( 1 ),( -1 ) ), ( ( 3 ),( 0 ),( 1 ) )>$ e $W=<( ( 1 ),( 0 ),( -2 ) ), ( ( -1 ),( 2 ),( 0 ) )>$
ora so che ogni vettore $v in V$ è dato dalla forma $k( ( 0 ),( 1 ),( -1 ) )+j( ( 3 ),( 0 ),( 1 ) )$
ed ogni $w in W$ è dato dalla forma $k( ( 1 ),( 0 ),( -2 ) )+j( ( -1 ),( 2 ),( 0 ) )$
a questo punto applico $f$ ovvero $kf( ( 0 ),( 1 ),( -1 ) )+jf( ( 3 ),( 0 ),( 1 ) )=k( ( 1 ),( 0 ),( -2 ) )+j( ( -1 ),( 2 ),( 0 ) )$ (ho usato che f è lineare)
da cui $f( ( 0 ),( 1 ),( -1 ) )=( ( 1 ),( 0 ),( -2 ) )$ e $f( ( 3 ),( 0 ),( 1 ) )=( ( -1 ),( 2 ),( 0 ) )$
così ho dimostrato che $f(v) in W$?
ora devo dimostrare che l'applicazione è iniettiva:
amplio la base di $V$ ad una base di $RR^3$ ovvero $RR^3=<( ( 0 ),( 1 ),( -1 ) ),( ( 3 ),( 0 ),( 1 ) ),( ( 1 ),( 0 ),( 0 ) )>$
siccome la mia $f$ deve essere iniettiva, allora il $ker(f)={0}$ quindi $dimIm(f)=3$
allora $Im(f)==<( ( 1 ),( 0 ),( 2 ) ),( ( -1 ),( 2 ),( 0 ) ),f ( ( 1 ),( 0 ),( 0 ) )>$
allora per finire l'iniettività di $f$ mi basta mandare il vettore della base canonica in un vettore qualsiasi di W, quindi per esempio $f ( ( 1 ),( 0 ),( 0 ) )=( ( 0 ),( 2 ),( -2 ) )$
ho dimostrato l'iniettività? spero di si
a questo punto la matrice $A$ che cerco sarà
$A=( ( 1 , -1 , 0 ),( 0 , 2 , 2 ),( -2 , 0 , -2 ) )*( ( 0 , 3 , 1 ),( 1 , 0 , 0 ),( -1 , 1 , 0 ) )^-1 $
va bene l'esercizio?
$V={x in RR^3: x_1-3x_2-3x_3=0} , W={x in RR^3: 2x_1+x_2+x_3=0}$
Si indichi una applicazione lineare $f:RR^3->RR^3$ tale che
°$f$ sia iniettiva,
°per ogni $v in V$ si abbia $f(v) in W$
Si determini la matrice $A in RR^(3x3)$ tale che $f=L_A$.
Allora intanto mi sono trovato una base di entrambi gli spazi, quindi per esempio
$V=<( ( 0 ),( 1 ),( -1 ) ), ( ( 3 ),( 0 ),( 1 ) )>$ e $W=<( ( 1 ),( 0 ),( -2 ) ), ( ( -1 ),( 2 ),( 0 ) )>$
ora so che ogni vettore $v in V$ è dato dalla forma $k( ( 0 ),( 1 ),( -1 ) )+j( ( 3 ),( 0 ),( 1 ) )$
ed ogni $w in W$ è dato dalla forma $k( ( 1 ),( 0 ),( -2 ) )+j( ( -1 ),( 2 ),( 0 ) )$
a questo punto applico $f$ ovvero $kf( ( 0 ),( 1 ),( -1 ) )+jf( ( 3 ),( 0 ),( 1 ) )=k( ( 1 ),( 0 ),( -2 ) )+j( ( -1 ),( 2 ),( 0 ) )$ (ho usato che f è lineare)
da cui $f( ( 0 ),( 1 ),( -1 ) )=( ( 1 ),( 0 ),( -2 ) )$ e $f( ( 3 ),( 0 ),( 1 ) )=( ( -1 ),( 2 ),( 0 ) )$
così ho dimostrato che $f(v) in W$?
ora devo dimostrare che l'applicazione è iniettiva:
amplio la base di $V$ ad una base di $RR^3$ ovvero $RR^3=<( ( 0 ),( 1 ),( -1 ) ),( ( 3 ),( 0 ),( 1 ) ),( ( 1 ),( 0 ),( 0 ) )>$
siccome la mia $f$ deve essere iniettiva, allora il $ker(f)={0}$ quindi $dimIm(f)=3$
allora $Im(f)=
allora per finire l'iniettività di $f$ mi basta mandare il vettore della base canonica in un vettore qualsiasi di W, quindi per esempio $f ( ( 1 ),( 0 ),( 0 ) )=( ( 0 ),( 2 ),( -2 ) )$
ho dimostrato l'iniettività? spero di si
a questo punto la matrice $A$ che cerco sarà
$A=( ( 1 , -1 , 0 ),( 0 , 2 , 2 ),( -2 , 0 , -2 ) )*( ( 0 , 3 , 1 ),( 1 , 0 , 0 ),( -1 , 1 , 0 ) )^-1 $
va bene l'esercizio?
Risposte
come fa a essere iniettiva se manda uno spazio di dimensione $3$ in uno spazio di dimensione $2$ ?
infatti se tu mandi una base di $RR^3$ in una terna di vettori di $W$, allora è ovvio che l'applicazione non può essere iniettiva
l'esercizio è molto semplice, tu fai quasi tutte le cose giuste, ma la tiri troppo lunga e sbagli alla fine la cosa più importante..
riprova!
infatti se tu mandi una base di $RR^3$ in una terna di vettori di $W$, allora è ovvio che l'applicazione non può essere iniettiva
l'esercizio è molto semplice, tu fai quasi tutte le cose giuste, ma la tiri troppo lunga e sbagli alla fine la cosa più importante..
riprova!
giusto, allora mi basta ampliare la base di $W$ ad una base di $RR^3$ e mandare il vettore della base canonica di $"V"$ al vettore che ho aggiunto ad $W$? così è dimostrata l'iniettività?
oh yes. 
poi però come sarà la matrice associata? è in realtà un'applicazione da $RR^3$ in sè stesso, l'unica cosa che fai è cambiare la base.
quindi se tu vuoi esprimere l'applicazione da $RR^3$ nella base di $V$ ampliata, a $RR^3$ nella base di $W$ ampliata, questa ,matrice sarà molto molto semplice..
se invece vuoi una matrice che esprima tutto rispetto alla base canonica, allora la matrice bisogna cercarla meglio.
poi però come sarà la matrice associata? è in realtà un'applicazione da $RR^3$ in sè stesso, l'unica cosa che fai è cambiare la base.
quindi se tu vuoi esprimere l'applicazione da $RR^3$ nella base di $V$ ampliata, a $RR^3$ nella base di $W$ ampliata, questa ,matrice sarà molto molto semplice..
se invece vuoi una matrice che esprima tutto rispetto alla base canonica, allora la matrice bisogna cercarla meglio.
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