[Indam-2010] Esercizio Algebra Lineare
Salve a tutti 
Sono alle prese con il seguente esercizio:
Sia $U$ il sottospazio vettoriale di $\mathbb{R}^4$ determinato dai suoi generatori $<(1; 1; 0; 1); (0; 1/5; 0; 1/5)>$
e sia $V$ definito da ${(x_1; x_2; x_3; x_4) | x_1 + x_2 -2 x_3 = 0}$.
i.Si indichi una base di $U \cap V$ e la si completi ad una base di $\mathbb{R}^4$.
ii.Si scelga un endomorfismo $F$ di $\mathbb{R}^4$ tale che $F(U) \subset V$, $U \subset F(V)$, $F^2 = Id_(\mathbb{R}^4)$
Per il punto i) ho trovato $<(1,-1,0,-1)>$ come base di $U \cap V$.
Il problema è nel secondo punto infatti non ho ben chiaro come determinare $F$ ho provato cambiamenti di base ma niente
Sono alle prese con il seguente esercizio:Sia $U$ il sottospazio vettoriale di $\mathbb{R}^4$ determinato dai suoi generatori $<(1; 1; 0; 1); (0; 1/5; 0; 1/5)>$
e sia $V$ definito da ${(x_1; x_2; x_3; x_4) | x_1 + x_2 -2 x_3 = 0}$.
i.Si indichi una base di $U \cap V$ e la si completi ad una base di $\mathbb{R}^4$.
ii.Si scelga un endomorfismo $F$ di $\mathbb{R}^4$ tale che $F(U) \subset V$, $U \subset F(V)$, $F^2 = Id_(\mathbb{R}^4)$
Per il punto i) ho trovato $<(1,-1,0,-1)>$ come base di $U \cap V$.
Il problema è nel secondo punto infatti non ho ben chiaro come determinare $F$ ho provato cambiamenti di base ma niente
Risposte
Il primo punto torna anche a me così 
Per il secondo, puoi ragionare così: noi vogliamo $f$ tale che
1) $f^2$ = $id$
2) $f(U) sube V$
3) $U sube f(V)$
Ora, se $f^2$ deve essere l'identità, da $f(U) sube V$ possiamo applicare $f$ ad ambo i membri e ottenere $U sube f(V)$! Quindi la condizione 3) è conseguenza delle altre due, a questo punto ti sei spostato il problema al seguente: trovare $f$ tale che $f^2=id$ e $f(U) sube V$.
Per il secondo, puoi ragionare così: noi vogliamo $f$ tale che
1) $f^2$ = $id$
2) $f(U) sube V$
3) $U sube f(V)$
Ora, se $f^2$ deve essere l'identità, da $f(U) sube V$ possiamo applicare $f$ ad ambo i membri e ottenere $U sube f(V)$! Quindi la condizione 3) è conseguenza delle altre due, a questo punto ti sei spostato il problema al seguente: trovare $f$ tale che $f^2=id$ e $f(U) sube V$.
Ottima osservazione, ma non riesco ancora a costruire $F$... Sto cercando di costruirla tramite la matrice associata, ma ci sono una marea di calcoli da fare...
Intanto abbiamo che $U nn V$ ha ${(1, -1, 0, -1)}$ come base. Come primo vettore ci prendiamo allora questo, e lo mandiamo in sé stesso, dato che questo è un primo vettore per definire dove va U, ma sta già in V!
$(1, -1, 0, -1) |-> (1, -1, 0, -1)$
poi ci prendiamo un secondo vettore di U che non sia multiplo del precedente, questo definirà dove va U. Prendiamo $(0, 1, 0, 1)$. Dobbiamo mandarlo per forza in vettore di V. Poiché dovremo fare in modo che risulti $f^2=id$, l'idea è fare in modo che f sia una trasposizione degli elementi della base su cui la costruiamo, così avremo sicuramente $f^2=id$. Mandiamo allora $(0, 1, 0, 1)$ in $(0, 2, 1, 0)$ (ho preso un qualsiasi vettore di V che non sia multiplo di $(1, -1, 0, -1)$, altrimenti $f$ non sarebbe bigettiva e, di conseguenza, non potrebbe essere $f^2=id$). A questo punto è $f(U) sube V$. Quindi come terzo vettore ci prendiamo $(0, 2, 1, 0)$ stesso, e lo mandiamo in $(0, 1, 0, 1)$, così f traspone due elementi della base su cui la definiamo; per finire prendiamo un quarto vettore a ottenere una base di $RR^4$ e lo mandiamo in sé stesso. Un esempio è quindi
$f$:
$(1, -1, 0, -1) |-> (1, -1, 0, -1)$
$(0, 1, 0, 1) |-> (0, 2, 1, 0)$
$(0, 2, 1, 0) |-> (0, 1, 0, 1)$
$(0, 0, 0, 1) |-> (0, 0, 0, 1)$
$(1, -1, 0, -1) |-> (1, -1, 0, -1)$
poi ci prendiamo un secondo vettore di U che non sia multiplo del precedente, questo definirà dove va U. Prendiamo $(0, 1, 0, 1)$. Dobbiamo mandarlo per forza in vettore di V. Poiché dovremo fare in modo che risulti $f^2=id$, l'idea è fare in modo che f sia una trasposizione degli elementi della base su cui la costruiamo, così avremo sicuramente $f^2=id$. Mandiamo allora $(0, 1, 0, 1)$ in $(0, 2, 1, 0)$ (ho preso un qualsiasi vettore di V che non sia multiplo di $(1, -1, 0, -1)$, altrimenti $f$ non sarebbe bigettiva e, di conseguenza, non potrebbe essere $f^2=id$). A questo punto è $f(U) sube V$. Quindi come terzo vettore ci prendiamo $(0, 2, 1, 0)$ stesso, e lo mandiamo in $(0, 1, 0, 1)$, così f traspone due elementi della base su cui la definiamo; per finire prendiamo un quarto vettore a ottenere una base di $RR^4$ e lo mandiamo in sé stesso. Un esempio è quindi
$f$:
$(1, -1, 0, -1) |-> (1, -1, 0, -1)$
$(0, 1, 0, 1) |-> (0, 2, 1, 0)$
$(0, 2, 1, 0) |-> (0, 1, 0, 1)$
$(0, 0, 0, 1) |-> (0, 0, 0, 1)$
Grazie mille, alla fine ho risolto prendendo due elementi della base di $U$ e li ho mandati in $V$. Dopodiché ho determinato i coefficienti della matrice in modo tale che $F^2=Id$. (il tutto ovviamente rispetto ad un'opportuna base)
Alla fine, la matrice di $F$ rispetto la base standard:
\[\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & -3 & -5 & -1 \\ 1 & 2 & -4 & -1 \\ -1 & -2 & 5 & 2 \end{pmatrix}\]
Comunque dal tuo post non mi è chiara una cosa, cosa intendi per " Poiché dovremo fare in modo che risulti $F^2=id$, l'idea è fare in modo che $F$ sia una trasposizione degli elementi della base su cui la costruiamo, così avremo sicuramente $F^2=id$"?
Alla fine, la matrice di $F$ rispetto la base standard:
\[\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & -3 & -5 & -1 \\ 1 & 2 & -4 & -1 \\ -1 & -2 & 5 & 2 \end{pmatrix}\]
Comunque dal tuo post non mi è chiara una cosa, cosa intendi per " Poiché dovremo fare in modo che risulti $F^2=id$, l'idea è fare in modo che $F$ sia una trasposizione degli elementi della base su cui la costruiamo, così avremo sicuramente $F^2=id$"?
Considera $f$ endomorfismo di uno spazio $V$, definito su una base $beta = {v_1, ..., v_n}$ al seguente modo:
$f(v_1) = v_2$
$f(v_2) = v_1$
$f(v_k) = v_k$ per ogni $k>=3$
allora è facile determinare come si comporta $f^2$ su tale base, infatti
$f^2(v_1) = f(f(v_1) = f(v_2) = v_1$
$f^2(v_2) = f(f(v_2) = f(v_1) = v_2$
$f^2(v_k) = f(f(v_k) = f(v_k) = v_k$ se $k>=3$
$f^2$ manda ogni vettore della base $beta$ in sé stesso, perciò non può che essere l'applicazione identica.
$f(v_1) = v_2$
$f(v_2) = v_1$
$f(v_k) = v_k$ per ogni $k>=3$
allora è facile determinare come si comporta $f^2$ su tale base, infatti
$f^2(v_1) = f(f(v_1) = f(v_2) = v_1$
$f^2(v_2) = f(f(v_2) = f(v_1) = v_2$
$f^2(v_k) = f(f(v_k) = f(v_k) = v_k$ se $k>=3$
$f^2$ manda ogni vettore della base $beta$ in sé stesso, perciò non può che essere l'applicazione identica.
"ZeroMemory":Perfetto, adesso mi è tutto chiaro. Grazie mille
Considera $f$ endomorfismo di uno spazio $V$, definito su una base $beta = {v_1, ..., v_n}$ al seguente modo:
$f(v_1) = v_2$
$f(v_2) = v_1$
$f(v_k) = v_k$ per ogni $k>=3$
allora è facile determinare come si comporta $f^2$ su tale base, infatti
$f^2(v_1) = f(f(v_1) = f(v_2) = v_1$
$f^2(v_2) = f(f(v_2) = f(v_1) = v_2$
$f^2(v_k) = f(f(v_k) = f(v_k) = v_k$ se $k>=3$
$f^2$ manda ogni vettore della base $beta$ in sé stesso, perciò non può che essere l'applicazione identica.
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