...incognita in un sistema lineare...
Ciao a tutti.
Il problema è il seguente:ho una matrice $A=((2,0,1),(-2,1,1),(0,1,2))$ con applicazione lineare $T(x_1,x_2,x_3)=(2x_1+x_3,-2x_1+x_2+x_3,x_2+2x_3)$ e mi viene chiesto di risolvere il sistema $Ax=(3,3,k)^T$
Il problema è il seguente:ho una matrice $A=((2,0,1),(-2,1,1),(0,1,2))$ con applicazione lineare $T(x_1,x_2,x_3)=(2x_1+x_3,-2x_1+x_2+x_3,x_2+2x_3)$ e mi viene chiesto di risolvere il sistema $Ax=(3,3,k)^T$
Risposte
Il rango della tua matrice A è $2$, dunque il sistema non può avere una sola soluzione. L'unica speranza che hai è che sia indeterminato e per questo dovrai imporre delle condizioni sul parametro $k$ in base al teorema di Rouchè Capelli. Se infatti la matrice completa associata al sistema avesse rango 3, il sistema sarebbe impossibile.
Paola
Paola
infatti mi viene $x=1/2$ e $x=1$ ma con la terza equazione ovvero $3x+kx=k$ non so come comportarmi.
Le tue incognite hanno tutte lo stesso nome?!
Ripeto, devi imporre che il rango della matrice completa sia 2, così esce la condizione su $k$. Cerca sul tuo libro il teorema di R-C, perché è da sapere, lo si usa sempre!
Paola
Ripeto, devi imporre che il rango della matrice completa sia 2, così esce la condizione su $k$. Cerca sul tuo libro il teorema di R-C, perché è da sapere, lo si usa sempre!
Paola
se pongo $x_3=t$ allora ho:
$\{(2x_1 + t + k = 3),(-2x_1 - t +k= 3),(x_2= -2t+k),(x_3=t):}$ giusto o non ci sono proprio?
$\{(2x_1 + t + k = 3),(-2x_1 - t +k= 3),(x_2= -2t+k),(x_3=t):}$ giusto o non ci sono proprio?
matrice completa sistema
$[[2,0,1,3],[-2,1,1,3],[0,1,2,k]]$
Affinchè il rango di questa matrice sia $2$, si deve avere
$det((2,0,3),(-2,1,3),(0,1,k))=0$ e $det((0,1,3),(1,1,3),(1,2,k))=0$. Entrambe danno come condizione $k=6$.
Dunque se $k=6$ il sistema è indeterminato e ha un parametro libero (numero incognite - rango matrice =3-2=1 par. lib.). Sostituisci $k=6$ e poni una delle variabili a tua scelta uguale a $t$, dopo di che ricava le altre due in funzione di $t$.
Comunque non so se sia una mia impressione, ma non hai minimamente ascoltato il mio suggerimento di guardare il teorema di R-C. La prossima volta ti troverai di nuovo nei guai se non sai nemmeno che cos'è.
Paola
$[[2,0,1,3],[-2,1,1,3],[0,1,2,k]]$
Affinchè il rango di questa matrice sia $2$, si deve avere
$det((2,0,3),(-2,1,3),(0,1,k))=0$ e $det((0,1,3),(1,1,3),(1,2,k))=0$. Entrambe danno come condizione $k=6$.
Dunque se $k=6$ il sistema è indeterminato e ha un parametro libero (numero incognite - rango matrice =3-2=1 par. lib.). Sostituisci $k=6$ e poni una delle variabili a tua scelta uguale a $t$, dopo di che ricava le altre due in funzione di $t$.
Comunque non so se sia una mia impressione, ma non hai minimamente ascoltato il mio suggerimento di guardare il teorema di R-C. La prossima volta ti troverai di nuovo nei guai se non sai nemmeno che cos'è.
Paola
io avevo ragionato così:
Ho ridotto a scala la matrice ottenendo $A=((2,0,1,|,3),(0,1,2,|,6),(0,0,0,|,k-6))$ quindi ho pensato che affinchè il sistema non fosse impossibile $k$ doveva essere perforza 6!
Sbaglio?
Ho ridotto a scala la matrice ottenendo $A=((2,0,1,|,3),(0,1,2,|,6),(0,0,0,|,k-6))$ quindi ho pensato che affinchè il sistema non fosse impossibile $k$ doveva essere perforza 6!
Sbaglio?
No hai fatto bene, perché hai ottenuto un sistema equivalente con le operazioni da te fatte. Ti mancava allora da sostituire l'effettivo valore di k trovato 
!
Paola
!Paola
ok,allora così mi è più chiaro!
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