Inclusione tra due sottospazi e una matrice
Dati due sottospazi U, Z di R^n e una matrice A reale mxn. Dimostrare l'inclusione:?
A(U intersecato Z) incluso in AU intersecato AZ
Mi servirebbero anche due esempi di inclusione stretta e uguaglianza:
A(U intersecato Z) incluso strettamente in AU intersecato AZ
A(U intersecato Z) = AU intersecato AZ
So fare le operazioni d'intersezione e somma tra sottospazi e dimostrarle ma in questo caso non saprei applicare una matrice a tali operazioni. Aiutatemi!!!
A(U intersecato Z) incluso in AU intersecato AZ
Mi servirebbero anche due esempi di inclusione stretta e uguaglianza:
A(U intersecato Z) incluso strettamente in AU intersecato AZ
A(U intersecato Z) = AU intersecato AZ
So fare le operazioni d'intersezione e somma tra sottospazi e dimostrarle ma in questo caso non saprei applicare una matrice a tali operazioni. Aiutatemi!!!
Risposte
Più che dimostrare le inclusioni, mi pare di capire che devi cercare dei sottospazi tali che quelle relazioni siano verificate. Giusto?
[mod="Steven"]Ti chiederei maggiore proposito quando posti nel forum, mostrando una tua idea o via di soluzione.
Inoltre ti chiedo di modificare il titolo del topic, visto che il maiuscolo è non consentito.
[/mod]
Ciao.
[mod="Steven"]Ti chiederei maggiore proposito quando posti nel forum, mostrando una tua idea o via di soluzione.
Inoltre ti chiedo di modificare il titolo del topic, visto che il maiuscolo è non consentito.
[/mod]
Ciao.
no è quella la traccia:
Dati due sottospazi U, Z di R^n e una matrice A reale mxn. Dimostrare l'inclusione:
A(U intersecato Z) incluso in AU intersecato AZ
e fare un esempio dove
A(U intersecato Z) incluso strettamente in AU intersecato AZ
e
A(U intersecato Z) = AU intersecato AZ
Dati due sottospazi U, Z di R^n e una matrice A reale mxn. Dimostrare l'inclusione:
A(U intersecato Z) incluso in AU intersecato AZ
e fare un esempio dove
A(U intersecato Z) incluso strettamente in AU intersecato AZ
e
A(U intersecato Z) = AU intersecato AZ
si comunque mi vanno bene degli esempi che verifichino le ultime due condizioni, quindi si due sottospazi e una matrice
Per dimostrare l'inclusione di un insieme nell'altro (nel tuo caso di $A(U\cap Z)$ in $A(U)\cap A(V)$), solitamente si prende un elemento del primo insieme e si dimostra che esso deve appartenere anche al secondo.
Dunque prendi un elemento di $A(U\cap Z)$ e mostra che esso deve appartenere anche a $A(U)\cap A(V)$. E' molto semplice.
Dopo aver fatto ciò, penseremo a trovare gli esempi.
[mod="cirasa"]E ti rinnovo l'invito di Steven a modificare il titolo evitando il maiuscolo come da regolamento (punto 3.5), usando il tasto "Modifica" in alto a destra nel primo messaggio.
Se non modificherai, bloccherò il thread.[/mod]
Dunque prendi un elemento di $A(U\cap Z)$ e mostra che esso deve appartenere anche a $A(U)\cap A(V)$. E' molto semplice.
Dopo aver fatto ciò, penseremo a trovare gli esempi.
[mod="cirasa"]E ti rinnovo l'invito di Steven a modificare il titolo evitando il maiuscolo come da regolamento (punto 3.5), usando il tasto "Modifica" in alto a destra nel primo messaggio.
Se non modificherai, bloccherò il thread.[/mod]
si il problema mio è qui, cioè dimostrare che una matrice appartenga a un sottospazio, ci riuscirei con i vettori, ma qui non saprei da dove cominciare
"paologeo":
...una matrice appartenga a un sottospazio...
No, non devi mostrare che la matrice appartiene a qualche sottospazio.
La matrice [tex]A[/tex] ad [tex]m[/tex] righe ed [tex]n[/tex] colonne rappresenta l'applicazione lineare [tex]A: x\in\mathbb{R}^n\mapsto Ax\in\mathbb{R}^m[/tex].
Devi mostrare che [tex]A(U\cap Z)[/tex] (immagine mediante [tex]A[/tex] di [tex]U\cap Z[/tex], dove [tex]U[/tex] e [tex]Z[/tex] sono sottospazi di [tex]\mathbb{R}^n[/tex]) è contenuto in [tex]A(U)\cap A(Z)[/tex].
Come è fatto un elemento di [tex]A(U\cap Z)[/tex]?
è proprio questo che non so.
Se prende A = 1 2 3
4 5 6
una combinazione lineare La : $ R $ ^3 $ rarr $ $ R $ ^2
è data da
La (x1, x2, x3) = A * (x1, x2, x3) = x1 + 2x2 + 3x3
4x1 + 5x2 + 6x3
Dunque dati U e W sottospazi per capire cos’è U ∩W bisogna
distinguere vari casi. Consideriamone alcuni:
(1) U e W sono piani per O: allora U ∩W è una retta per O (a meno che
U = W nel qual caso U ∩W = U è un piano per O);
(2) U e W sono rette per O: allora se le due rette non coincidono U ∩W =
vettore se invece coincidono U ∩W = U è una retta per O.
(3) U è un piano per O mentre W è una retta per O: se W è contenuta in
U allora U ∩W = W è una retta per O altrimenti U ∩W = vettore
ok? adesso non saprei come unire queste due cose
Se prende A = 1 2 3
4 5 6
una combinazione lineare La : $ R $ ^3 $ rarr $ $ R $ ^2
è data da
La (x1, x2, x3) = A * (x1, x2, x3) = x1 + 2x2 + 3x3
4x1 + 5x2 + 6x3
Dunque dati U e W sottospazi per capire cos’è U ∩W bisogna
distinguere vari casi. Consideriamone alcuni:
(1) U e W sono piani per O: allora U ∩W è una retta per O (a meno che
U = W nel qual caso U ∩W = U è un piano per O);
(2) U e W sono rette per O: allora se le due rette non coincidono U ∩W =
vettore se invece coincidono U ∩W = U è una retta per O.
(3) U è un piano per O mentre W è una retta per O: se W è contenuta in
U allora U ∩W = W è una retta per O altrimenti U ∩W = vettore
ok? adesso non saprei come unire queste due cose
La questione è molto più semplice da trattare nel caso generale.
Stai complicando inutilmente la questione introducendo casi particolari
Anche perchè non è detto che, come hai fatto tu, sia [tex]n=3[/tex] ed [tex]m=2[/tex].
Se [tex]U[/tex] e [tex]Z[/tex] sono sottospazi di [tex]\mathbb{R}^n[/tex], un elemento di [tex]A(U\cap Z)[/tex] è nella forma [tex]Ax[/tex] con [tex]x\in U\cap Z[/tex].
Ci chiediamo se ogni elemento di [tex]A(U\cap Z)[/tex] sia in [tex]A(U)\cap A(Z)[/tex].
La risposta è ovviamente sì. Infatti se [tex]Ax[/tex] è in [tex]A(U\cap Z)[/tex] (cioè [tex]x\in U\cap Z[/tex]) allora
_ [tex]Ax\in A(U)[/tex] perché [tex]x\in U[/tex]
_ [tex]Ax\in A(Z)[/tex] perché [tex]x\in Z[/tex]
Quindi [tex]Ax\in A(U)\cap A(Z)[/tex].
In realtà ho utilizzato solo la definizione di immagine di un insieme mediante una funzione
Sto solo dicendo che se [tex]f:X\to Y[/tex] è una funzione e [tex]A,B\subseteq X[/tex], allora [tex]f(A\cap B)\subseteq f(A)\cap f(B)[/tex]...
P.S. Cerca di imparare l'uso delle formule (click). L'uso del MathML rende i tuoi messaggi molto più leggibili.
Tieni conto che dopo 30 messaggi, il corretto uso delle formule è obbligatorio.
Stai complicando inutilmente la questione introducendo casi particolari
Anche perchè non è detto che, come hai fatto tu, sia [tex]n=3[/tex] ed [tex]m=2[/tex].
Se [tex]U[/tex] e [tex]Z[/tex] sono sottospazi di [tex]\mathbb{R}^n[/tex], un elemento di [tex]A(U\cap Z)[/tex] è nella forma [tex]Ax[/tex] con [tex]x\in U\cap Z[/tex].
Ci chiediamo se ogni elemento di [tex]A(U\cap Z)[/tex] sia in [tex]A(U)\cap A(Z)[/tex].
La risposta è ovviamente sì. Infatti se [tex]Ax[/tex] è in [tex]A(U\cap Z)[/tex] (cioè [tex]x\in U\cap Z[/tex]) allora
_ [tex]Ax\in A(U)[/tex] perché [tex]x\in U[/tex]
_ [tex]Ax\in A(Z)[/tex] perché [tex]x\in Z[/tex]
Quindi [tex]Ax\in A(U)\cap A(Z)[/tex].
In realtà ho utilizzato solo la definizione di immagine di un insieme mediante una funzione
Sto solo dicendo che se [tex]f:X\to Y[/tex] è una funzione e [tex]A,B\subseteq X[/tex], allora [tex]f(A\cap B)\subseteq f(A)\cap f(B)[/tex]...
P.S. Cerca di imparare l'uso delle formule (click). L'uso del MathML rende i tuoi messaggi molto più leggibili.
Tieni conto che dopo 30 messaggi, il corretto uso delle formule è obbligatorio.
ti ringrazio, ho capito 
e per gli esempi che dicevo? come devo considerare un x o una Ax? mi da una mano?
e per gli esempi che dicevo? come devo considerare un x o una Ax? mi da una mano?
Per trovare un esempio per cui valga l'uguaglianza, ti basta scegliere l'applicazione identica.
Per trovare un esempio per cui non valga l'uguaglianza, certamente non potrai prendere una matrice non degenere, visto che altrimenti, dalla bigettività della funzione associata, otterresti l'uguaglianza.
Prova con qualche matrice semplice $2\times 2$ e due sottospazi di $RR^2$ "buoni"
Per trovare un esempio per cui non valga l'uguaglianza, certamente non potrai prendere una matrice non degenere, visto che altrimenti, dalla bigettività della funzione associata, otterresti l'uguaglianza.
Prova con qualche matrice semplice $2\times 2$ e due sottospazi di $RR^2$ "buoni"
non mi hai più risposto ho bisogno degli esempi
ho bisogno degli esempi
E io qualche suggerimento te l'avevo dato per un esempio in cui vale l'inclusione stretta.
Ti avevo detto di cercare una matrice [tex]2\times 2[/tex] degenere.
Beh, una delle prime matrici degeneri che mi viene in mente è [tex]$ A=\left( \begin{matrix}1&1\\0&0\end{matrix}\right)[/tex].
Ora dovresti trovare due sottospazi [tex]U[/tex] e [tex]Z[/tex] di [tex]\mathbb{R}^2[/tex] per cui vale l'inclusione stretta
[tex]A(U\cap Z)\subset A(U)\cap A(Z)[/tex].
Prova con qualcosa di semplice...
Ti avevo detto di cercare una matrice [tex]2\times 2[/tex] degenere.
Beh, una delle prime matrici degeneri che mi viene in mente è [tex]$ A=\left( \begin{matrix}1&1\\0&0\end{matrix}\right)[/tex].
Ora dovresti trovare due sottospazi [tex]U[/tex] e [tex]Z[/tex] di [tex]\mathbb{R}^2[/tex] per cui vale l'inclusione stretta
[tex]A(U\cap Z)\subset A(U)\cap A(Z)[/tex].
Prova con qualcosa di semplice...
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