Inclusione continua

[DavideGenova1]

Ciao, amici! Trovo scritto sul testo che sto seguendo, Geometria II del Sernesi, che "se $X$ e $Y$ sono due spazi metrici e $f:X\to Y$ è un'applicazione tale che \(d_X(x,x')=d_Y(f(x),f(x'))\) per ogni $x,x'\in X$ allora $f$ è un'inclusione continua di $X$ e $Y$ considerati come spazi topologici metrizzabili".
(Ovviamente?) si intende che $f$ deve essere biunivoca, cosa che, però, non necessariamente una $f$ tale che \(d_X(x,x')=d_Y(f(x),f(x'))\) è in generale, giusto?
Tantissime grazie a tutti!!!!

[j18eos]

Veramente quella è la definizione di isometria, e tali applicazioni si dimostrano essere iniettive (oltre che cotinue)!

[DavideGenova1]

\(\aleph_2\) grazie! La cardinalità dei reali non basta, tra molteplicità di curve e tutto il resto...

[dissonance]

"DavideGenova":un'inclusione continua di $X$ e $Y$ considerati come spazi topologici metrizzabili".
(Ovviamente?) si intende che $f$ deve essere biunivoca, cosa che, però, non necessariamente una $f$ tale che \(d_X(x,x')=d_Y(f(x),f(x'))\) è in generale, giusto?

Giusto. Esempio:
\[
f\colon \mathbb{R}\to \mathbb{R}^2,\quad f(x)=(x, 0).\]
"Inclusione continua di spazi topologici" è una locuzione per dire che $f$ è continua, ingettiva ed è un omeomorfismo di $X$ su $f(X)$. Il caveat è che non sempre una applicazione continua e ingettiva è un omeomorfismo sulla propria immagine, ecco perché si sono dovuti inventare una nuova definizione.

[DavideGenova1]

Grazie dissonance!!! Ovviamente si può indebolire la mia ipotesi con $f$ ingettiva, perché l'applicazione indotta $X\to f(X)$ è surgettiva per come è costruita.