Inclusione come equivalenza omotopica

[Angus1956]

Si costruisca un esempio della seguente situazione: $X$ è uno spazio topologico, $AsubeX$ è un sottospazio, l’inclusione $i:A->X$ è un’equivalenza omotopica, $A$ non è un retratto per deformazione di $X$.

Poniamo $X=RR^3$ e $A=S^2$. Consideriamo la funzione continua $r:RR^3->S^2$ definita come $r(x)=x/||x||$, si ha che $r\circi = id_S^2$ e $i\circr~Id_{RR^3}$ (quest'ultima vale poichè $RR^3$ è contraibile e quindi tutte le funzioni continue da $RR^3$ in sé sono omotope), per cui $i$ è un equivalenza omotopica ma $S^2$ non è una retrazione per deformazione di $RR^3$ poichè $S^2$ non è contraibile mentre $RR^3$ è contraibile.

[megas_archon]

No: un'equivalenza omotopica deve indurre isomorfismi tra tutti i gruppi di omotopia, cosa che $i$ non può fare (\(\pi_2(S^2)\) è $ZZ$ e dato che $i$ è uno split mono tale dovbbe essere anche \(i_* \pi_2(S^2)\to \pi_2(\mathbb R^3)=0\)).

Trova uno spazio contraibile che non retrae per deformazione (forte: penso tu stia usando la definizione di quel mariuolo di Hatcher) a nessuno dei suoi punti.

[Angus1956]

C'è un esercizio approposito di quando l'inclusione è un equivalenza omotopica:




Appunto io ho sfruttato il fatto che (4) implica (7) per mostrare che $i$ è un equivalenza omotopica...