Inclusione

[Aletzunny1]

Buonasera, so che la domanda può essere banale ma non ho compreso bene il funzionamento dell'inclusione $i: Y->X$ e di conseguenza la parte teorica riportata nella foto. In particolare i miei dubbi sono:
1)$i$ prende un elemento $y in Y$ e lo manda in $X$ ? Per me sì

2) perché $r ° i = I_(dY)$ ?

3)$R(x,0)=i(r(x))$ per ipotesi però $R(x,0) in Y$ e $r(x) in Y$ e $i(r(x))$ non apparterrebbe a $X$ ? Cosa mi sfugge della funzione $i$ ?

Grazie

[solaàl]

1. Sì
2. Per come è definita $R$: (r=R(-,0)).
3. Cosa significa la domanda?

[Aletzunny1]

"solaàl":1. Sì
2. Per come è definita $R$: \(r=R(-,0)\).
3. Cosa significa la domanda?

Rispondo solo ora poiché non andava il forum

2) è l'identità perché si parte da $Y$ e si ritorna in $Y$? Cioè $r:X->Y$ e $i:Y->X$ dunque si va da $Y$ a $Y$...ho capito correttamente?

3)$R(x,0) in Y$ ma $r(x) in Y$ e $i(r(x)) in X$ ? Come fa a valere l'uguaglianza?
Grazie

[solaàl]

No, \(R(x,0)\in X\), ma fattorizza lungo l'inclusione \(Y\subseteq X\); è sottilmente diverso.

[Aletzunny1]

"solaàl":No, \(R(x,0)\in X\), ma fattorizza lungo l'inclusione \(Y\subseteq X\); è sottilmente diverso.

Ma da ipotesi della foto, per il punto 1) (sempre della foto) $R(x,0) in Y$

[solaàl]

Sì, ma $Y$ è contenuto in $X$.

[Aletzunny1]

Perdonami ma non sto capendo...quindi $i(r(x))$ starebbe in $X$ oppure $Y$ ? E come fa a valere l'uguaglianza?

[solaàl]

\(ir(x)\) sta dove ti conviene affinché il risultato torni; a volte lo confondi con \(r(x)\), specie se \(i\) è l'inclusione tautologica; se fai un disegno, rappresentando $Y$ come una piccola patata, $X$ come una grande patata, te ne accorgi subito. $r$ mappa la grande patata nella piccola patata (e mi fermo qui, perché sta diventano leggermente osceno).

A rigore, $ir$ è un endomorfismo di \(X\), per l'ovvio motivo che i domini di $i$ e di $r$ sono messi in modo tale da farli essere funzioni in direzioni opposte; del resto, \(Y\) è un sottospazio di \(X\), e nella condizione di essere un RpD c'è la richiesta che \(R : [0,1]\times X \to X\), che tra poco scoprirai essere un'omotopia tra $ir$ e l'identità di $X$, sia tale che \(R(-,0)\) fattorizzi lungo l'inclusione \(Y\subseteq X\)... siccome tutto questo è vero, insomma, puoi pensare che \(R(-,0)\) stia in $Y$.

[Aletzunny1]

Dunque se ho capito bene allora $i(r(x))$ è un elemento di $X$ ma sappiamo che $ Y sube X$ e dunque poiché $i(r(x))=r(x)$ si ha che di fatto $i(r(x))$ è un elemento sia di Y che di $X$ come accade anche per $R(x,0)$...ci sono?