Immagini ed endomorfismi

[michele.assirelli]

(Scusate se oggio faccio mille domande, ma i prof. ci hanno lasciato delle dispense di esecizi senza nessuno tipo di soluzione )
Vorrei chiedere se la risoluzione di questi due esercizi è corretta:

Esercizio 1
Sia $f: \mathbb {R^3} -> \mathbb {R^3} $ e $f(x,y,z)=(2x+2y+z,y,-x-2y) $
Trovare una rappresentazione cartesiana di $f(U)$ dove $U={ (x,y,z) \in \mathbb {R^3} | x+y = 0 \wedge y-3z=0} $

Soluzione: $f(U) = {(2x+3y+z=0),(3x+7y=0):} $

Esercizio 2
Determinare un endomorfismo $f: \mathbb {R^3} -> \mathbb {R^3} $ tale che
$ f(W) = Span {(1,2,3);(0,1,1)} $ e $(1,0,0) \in Ker(f) $
Con $W= Span {(1,0,1);(0,1,1)} $

Soluzione:
Di sicuro sappiamo che $f(1,0,0)=(0,0,0) $
Poi ho posto (ma di questo non sono sicuro) $f(1,0,1)=(1,2,3)$ e $f(0,1,1)=(0,1,1) $
Se questo passaggio è corretto allora troverei poi la matrice associata ad $f$ rispetto alla base $B=(1,0,0);(1,0,1);(0,1,1) $ e da questa ricavo utilizzando le formule delle matrici di passaggio la matrice canonicamente associata ad $f$, e dunque $f$

[billyballo2123]

Per quanto riguarda il primo esercizio, dato che $U$ è una retta, la sua immagine mediante $f$ può essere solamente o una retta o lo spazio nullo. Facendo i conti, $U$ lo si può scrivere come $\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3|x=-3z\wedge y=3z\}$, dunque
\[
f(x,y,z)=(2x+2y+z,y,-x-2y)=(z,3z,-3z)=z(1,3,-3).
\]
Dunque al variare di $z$, $f$ assume tutti i valori della retta con direzione $(1,3,-3)$.

Per il secondo esercizio, considera la generica matrice $3\times 3$:
\[
\begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33}
\end{bmatrix}.
\]
Sappiamo che $f(1,0,0)=(0,0,0)$, dunque
\[
\begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33}
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
1 \\
0 \\
0
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
a_{11} \\
a_{21} \\
a_{31}
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
0 \\
0 \\
0
\end{bmatrix}
\]
e la matrice diventa
\[
\begin{bmatrix}
0 & a_{12} & a_{13} \\
0 & a_{22} & a_{23} \\
0 & a_{32} & a_{33}
\end{bmatrix}.
\]
Ora usiamo il fatto che $f(1,0,1)=(1,2,3)$:
\[
\begin{bmatrix}
0 & a_{12} & a_{13} \\
0 & a_{22} & a_{23} \\
0 & a_{32} & a_{33}
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
1 \\
0 \\
1
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
a_{13} \\
a_{23} \\
a_{33}
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
1 \\
2 \\
3
\end{bmatrix}
\]
e la matrice diventa
\[
\begin{bmatrix}
0 & a_{12} & 1 \\
0 & a_{22} & 2 \\
0 & a_{32} & 3
\end{bmatrix}.
\]
Infine dato che $f(0,1,1)=(0,1,1)$, si ha che
\[
\begin{bmatrix}
0 & a_{12} & 1 \\
0 & a_{22} & 2 \\
0 & a_{32} & 3
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
0 \\
1 \\
1
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
a_{12}+1 \\
a_{22}+2 \\
a_{32}+3
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
0 \\
1 \\
1
\end{bmatrix}
\]
dunque la matrice è
\begin{bmatrix}
0 & -1 & 1 \\
0 & -1 & 2 \\
0 & -2 & 3
\end{bmatrix}.
\]