Immagine vettore in una applicazione lineare

[mirko_unifi]

Vorrei sapere quale procedimento c'è dietro questo esercizio:

Sia f : R^4 -> R^4 l'applicazione lineare tale che:

Ker(f) :=$ {f(x; y; z;w) in R^(4) // 2x+y = 2z+w = 0 } $ ;
V2 := $ {f(x; y; z;w) in R^(4) // y-z = x-w = 0 } $.

L'immagine del vettore (0; 3; 0; 3) è il vettore:
1) non si può calcolare con i dati a disposizione
2) (2; 2; 2; 2)
3) nessuna delle altre risposte
4) (2; 0; 2; 0)
5) (0; 2; 0; 2)

La soluzione giusta è la 2); qualcuno sa spiegarmi il procedimento??

Grazie anticipatamente per la risposta!

[^Tipper^1]

Risolvi i due sistemi e trovi:

dal primo ${(x,-2x,z,-2z)} -> {(1,-2,0,0),(0,0,1,-2)}$

dal secondo ${(w,z,z,w)} -> {(1,0,0,1),(0,1,1,0)}$

Chiami: $v_1(1,-2,0,0), v_2(0,0,1,-2), v_3(1,0,0,1), v_4(0,1,1,0)$

$B{v_1,v_2,v_3,v_4}$

Hai che
$f(v_1)=0$ perché $v_1inKerf$
$f(v_2)=0$
$f(v_3)=2v_3 -> 2(1,0,0,1)->(2,0,0,2)$ perché $v_3$ è autovettore con autovalore $2$
$f(v_4)=2v_4->(0,2,2,0)$

$(0,3,0,3)=a(1,-2,0,0)+b(0,0,1,-2)+c(1,0,0,1)+d(0,1,1,0)$

Risolvendo questo sistema, trovi che:

$\{(a=-1),(b=-1),(c=1),(d=1):}$

$(0,3,0,3)=-1(0)-1(0)+1(2,0,0,2)+1(0,2,2,0)$

Quindi, l'immagine del vettore $(0,3,0,3)$ è $(2,2,2,2)$

[mirko_unifi]

E se come dati mi dà l'insieme dei vettori di V-2, di V2 e del Ker(f) mi comporto nello stesso modo??

[^Tipper^1]

In linea di massima sì.