Immagine su $S^1$
Salve, ho questo esercizio
Potreste spiegarmi perché l'immagine non è aperta?
Grazie
Potreste spiegarmi perché l'immagine non è aperta?
Grazie
Risposte
Considerato \(\displaystyle U=[0,a[\subsetneqq[0,1[ \), devi dimostrare che \(\displaystyle f(0)\) non è interno a \(\displaystyle f(U)\).
Ok, però ho un dubbio: l'insieme $[0,a)$ non dovrebbe essere un'insieme aperto per quanto ne so.
Dando per scontato che stiamo lavorando con le topologie naturali;
\(\displaystyle[0,a[\) non è un insieme aperto di \(\displaystyle\mathbb{R}\),
\(\displaystyle[0,a[\) è un insieme aperto di \(\displaystyle[0,1[\).
Perché?
\(\displaystyle[0,a[\) non è un insieme aperto di \(\displaystyle\mathbb{R}\),
\(\displaystyle[0,a[\) è un insieme aperto di \(\displaystyle[0,1[\).
Perché?
Perché hai scritto regolamento?
Comunque, immagino (perché in realtà non lo so) che nell'intorno di $0$ ci sono punti esterni all'insieme in $R$, mentre in $[0,1)$ quei punti esterni non esistono. Questo detto molto grezzamente.
Comunque, immagino (perché in realtà non lo so) che nell'intorno di $0$ ci sono punti esterni all'insieme in $R$, mentre in $[0,1)$ quei punti esterni non esistono. Questo detto molto grezzamente.
[ot]Non ho la benché minima idea di come cavolo sia spuntato fuori quel tag.[/ot]Ok per la grettezza;
e con un pò più di grazia?
e con un pò più di grazia?
Per $R^d$ in generale definiamo
$B_r(p):={(q_1,...q_d)|\sum_(i=1)^d (q_i-p_i)^2
L'insieme $u$ è aperto se:
$AA p \in u : EE r \in R^+: B_r(p) \subseteq u$
Per l'altra ho pensato di farla così
Definisco una topologia $theta$ su $R$, spazio topologico $(R,theta)$
Nel mio quaderno ho scritto:
$\theta$ è un insieme di sottoinsiemi di $R$ e anche un insieme di aperti
In particolare scelgo questa.
$theta={R,[0,1),0}$
$theta$ è una topologia in quanto contiene l'insieme vuoto e tutto $R$, l'intersezione tra gli elementi fa ancora parte di $theta$ e anche la loro unione.
Quindi $[0,1)$ è aperto.
Seguo delle lezioni in inglese e quindi ogni tanto mi perdo qualche parola e potrei aver interpretato male quello che ha detto il professore. Nella sezione di esercizi comunque si è detto che una topologia definisce la nozione di insieme aperto, forse in questo modo, non ci sono stati esempi.
$B_r(p):={(q_1,...q_d)|\sum_(i=1)^d (q_i-p_i)^2
L'insieme $u$ è aperto se:
$AA p \in u : EE r \in R^+: B_r(p) \subseteq u$
Per l'altra ho pensato di farla così
Definisco una topologia $theta$ su $R$, spazio topologico $(R,theta)$
Nel mio quaderno ho scritto:
$\theta$ è un insieme di sottoinsiemi di $R$ e anche un insieme di aperti
In particolare scelgo questa.
$theta={R,[0,1),0}$
$theta$ è una topologia in quanto contiene l'insieme vuoto e tutto $R$, l'intersezione tra gli elementi fa ancora parte di $theta$ e anche la loro unione.
Quindi $[0,1)$ è aperto.
Seguo delle lezioni in inglese e quindi ogni tanto mi perdo qualche parola e potrei aver interpretato male quello che ha detto il professore. Nella sezione di esercizi comunque si è detto che una topologia definisce la nozione di insieme aperto, forse in questo modo, non ci sono stati esempi.
Mi permetto di chiederti se usi anche delle dispense o un libro; perché non ci siamo proprio: la topologia \(\displaystyle\theta\) da te definita si chiama topologia "dei tre aperti" su \(\displaystyle\mathbb{R}\) con terzo aperto \(\displaystyle[0,1[\).
Sai cos'è la topologia indotta su un sottospazio?
Sai cos'è la topologia indotta su un sottospazio?
Mi permetto di chiederti se usi anche delle dispense o un libro
No, ho il libro di Abate, Geometria differenziale ma gli ho dato giusto un'occhiata. Ho iniziato a seguire le lezioni solo 4 giorni fa (su youtube) quindi non ho ancora familiarità con i concetti.
Sai cos'è la topologia indotta su un sottospazio?
Si, negli appunti ho chiamato come inherited topology.
$theta|_s:={u nn S|u\in\theta_M}$
Però non mi è chiaro come agire. Avrei bisogno di qualche esempio probabilmente...
Riguardo al mio metodo non ho ben capito dove sia l'errore. Cosa c'è di male a definire la topologia dei tre aperti? Non capisco se è un metodo stupido o è proprio sbagliato
"Spremiagrumi":
Riguardo al mio metodo non ho ben capito dove sia l'errore. Cosa c'è di male a definire la topologia dei tre aperti? Non capisco se è un metodo stupido o è proprio sbagliato
Nessuno dei due, basta mettersi d'accordo. Uno spazio topologico è dato da due informazioni: un insieme, e una collezione di sottoinsiemi, chiamati aperti, che soddisfa gli assiomi noti. Se lo spazio topologico è dato, la topologia è fissata, non ha senso volerne definire un'altra.
Nel tuo caso, stai partendo da uno spazio topologico che è $[0,1)$. E' praticamente sottointeso che la topologia che stai mettendo sull'insieme $[0,1)$ è la inherited topology che viene da $\RR$.
Consiglio: leggi qualcosa sulla inherited topology, e riprova a fare l'esercizio.
Se la topologia è la stessa di $\RR$, posso dire che è quella standard. E per definire se è aperto prendo ancora la definizione che ho scritto prima di $B$
e
$ AA p \in u : EE r \in R^+: B_r(p) \subseteq u $.
Basta questo?
e
$ AA p \in u : EE r \in R^+: B_r(p) \subseteq u $.
Basta questo?
Dato uno spazio topologico X e un suo sottoinsieme Y, nella topologia di sottospazio su Y un insieme è aperto se è uguale all'interseZione di Y con un aperto di X. Quindi la topologia non è la stessa! Infatti, ad esempio, Y sarà certamente aperto nella topologia di sottospazio, visto che $ Y=Y nn X $ , ma può benissimo darsi che Y nella topologia di X non sia aperto.
Quindi, se vuoi, puoi ancora usare quella definizione dove un aperto è Unione di palle aperte, ma le palle aperte centrate in un punto p di Y sono del tipo: $B(p) nn Y $ con $B(p)$ una palla aperta di $X$. Equivalentemente, la topologia di sottospazio Su Y è quella indotta dalla distanza $ d $ definita su X ma ristretta a Y, quindi la restriZione $d:YxY rarr R $.
Quindi, se vuoi, puoi ancora usare quella definizione dove un aperto è Unione di palle aperte, ma le palle aperte centrate in un punto p di Y sono del tipo: $B(p) nn Y $ con $B(p)$ una palla aperta di $X$. Equivalentemente, la topologia di sottospazio Su Y è quella indotta dalla distanza $ d $ definita su X ma ristretta a Y, quindi la restriZione $d:YxY rarr R $.
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