Immagine, Nucleo di una matrice
Salve, so che ci stanno milioni di discussioni riguardanti tali argomento ma nessuna riesce a darmi una spiegazione soddisfacente. Allora mi servirebbe capire come si trovano: immagine, nucleo e relative dimensioni di una matrice A (che metterò ora qui sotto) e inoltre mi serve capire come trovare la dimensione del vettore associato. (vi prego però di non darmi definizioni teoriche che non mi servono tanto, più che altro voglio capire il metodo che applicate).
Ecco l'esercizio (mi servono da risolvere solo i punti a,b,c):
Inoltre volevo chiedervi un'altra cosa, allora il rango di quella matrice è per definizione uguale alla dimensione dell'immagine di La. La dimensione di V (il vettore associato ad A) è il numero di vettori linearmente indipendenti cioè al numero dei pivot della matrice ridotta in scala. Però ciò non ha senso perché la dimensione del Ker verrebbe sempre 0; c'è qualcosa che sbaglio? Come posso trovare la dimensione del vettore associato?
Ringrazio in anticipo
Ecco l'esercizio (mi servono da risolvere solo i punti a,b,c):
Inoltre volevo chiedervi un'altra cosa, allora il rango di quella matrice è per definizione uguale alla dimensione dell'immagine di La. La dimensione di V (il vettore associato ad A) è il numero di vettori linearmente indipendenti cioè al numero dei pivot della matrice ridotta in scala. Però ciò non ha senso perché la dimensione del Ker verrebbe sempre 0; c'è qualcosa che sbaglio? Come posso trovare la dimensione del vettore associato?
Ringrazio in anticipo
Risposte
Allora, $A=((1,0,1),(-1,a,2),(0,1,3),(-2,2,4))$
Dobbiamo trovare nucleo e immagine di $L_a : RR^3->RR^4$, l'applicazione lineare definita dalla matrice $A$.
Prima domanda: quanto vale il rango di $A$?
Dobbiamo trovare nucleo e immagine di $L_a : RR^3->RR^4$, l'applicazione lineare definita dalla matrice $A$.
Prima domanda: quanto vale il rango di $A$?
Per a=1 il rango è 2, per a=0 il rango è 3
E per tutti gli altri $a$?
Per tutti gli altri a il rango è sempre uguale a 3, giusto?
Direi di sì: prendiamo il minore $3 times 3$ formato dalle prime tre righe: $((1,0,1),(-1,a,2),(0,1,3))$
Il determinante di questo minore è $3a-3=3(a-1)$. Dunque se $a!=1$ il rango è $3$.
Se $a=1$ il rango è $2$
Ora, dato che $3=dim(RR^3)= dim(Ker(f))+dim (Im(L_a))= dim(Ker(f))+rg(L_a)$,
se $a!=1$ si ha $dim(Ker(L_a))=0$, pertanto $Ker(L_a)={ul0}$
se $a=1$ si ha $dim(Ker(L_1))=1$
Il determinante di questo minore è $3a-3=3(a-1)$. Dunque se $a!=1$ il rango è $3$.
Se $a=1$ il rango è $2$
Ora, dato che $3=dim(RR^3)= dim(Ker(f))+dim (Im(L_a))= dim(Ker(f))+rg(L_a)$,
se $a!=1$ si ha $dim(Ker(L_a))=0$, pertanto $Ker(L_a)={ul0}$
se $a=1$ si ha $dim(Ker(L_1))=1$
Per quanto riguarda invece il nucleo e l'immagine? Come posso trovarli? Per il nucleo mi pare che basta impostarci un sistema omogeno
Come ha scritto @Gi8, il nucleo è banale quando il rango della matrice è "pieno", e qui non hai nulla da calcolare. Quando invece il rango della matrice è minore della sua dimensione, trovi i vettori appartenenti al nucleo con un sistema lineare che scritto in forma matriciale risulta essere il Nullspace della matrice associata, $AX=0$.
L'immagine è altrettanto semplice:
se il rango è "pieno", i vettori colonna della matrice sono base dell'immagine; se il rango è inferiore, prenderai i vettori colonna in numero pari alle righe non nulle della matrice di partenza.
L'immagine è altrettanto semplice:
se il rango è "pieno", i vettori colonna della matrice sono base dell'immagine; se il rango è inferiore, prenderai i vettori colonna in numero pari alle righe non nulle della matrice di partenza.
Potresti farmi un esempio del calcolo di un'immagine? Scusa ma non riesco a capirla 
Grazie
Grazie
Ad esempio:
$A= ( ( -1 , 3 , 0 ),( 3 , 2 , 9 ),( 2 , -6 , 0 ) ) $ ha rango 2 (spero sia chiaro perché).
Allora una base dell'immagine dell'applicazione lineare la cui matrice associata è $A$ è ad esempio $ ( -1 , 3 , 2 ),( 3 , 2 , -6 ) $
$A= ( ( -1 , 3 , 0 ),( 3 , 2 , 9 ),( 2 , -6 , 0 ) ) $ ha rango 2 (spero sia chiaro perché).
Allora una base dell'immagine dell'applicazione lineare la cui matrice associata è $A$ è ad esempio $ ( -1 , 3 , 2 ),( 3 , 2 , -6 ) $
Ok perfetto, l'immagine l'ho capita e grazie. Un'altra domanda però, in questo caso la dimensione del vettore associato V è 3 o è 2? La dimensione di V è sempre uguale al rango della matrice?
Non capisco cosa sia questo vettore $V$ di cui parli, né da cosa sia composto. Davvero non conosco vettori "associati" ad una matrice...
Si scusa, mi sono espresso male; allora prendiamo un vettore V=Span (v1,v2,v3) dove v1=(-1,3,0), v2=(3,2,9), v3=(2,-6,0). La matrice associata è quella che hai scritto tu nel post precedente. Quanto è la dim V? La dim V coincide con il rango della matrice associata?
Hai una bella confusione! Lo span di vettori non è a sua volta un vettore, è uno spazio. Es. $v_1,v_2,v_3 $ generano uno spazio. Se sono linearmente indipendenti, lo spazio ha dimensione tre, in caso contrario la dimensione è minore. Se sono multipli tra loro, la dimensione è chiaramente $1$.
La matrice che ho scritto prima è associata ad un'applicazione lineare, non ad uno spazio.
La matrice che ho scritto prima è associata ad un'applicazione lineare, non ad uno spazio.
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