Immagine, kerne e dim di una matrice
ciao... sono 2 giorni che sto cercando di capire queste cosette ma quando penso di averle afferate ... capisco che non ne sono + così tanto sicuro 
... quindi giro la domanda a voi sperando inuna spiegazione diversa da quella dei libri k ho consultato!! Spero che la mia domanda sia esauriente ... se sparo qualche caxxata ... coreggietemi 
plz
matrice A :
ora, si chiede di trovare il Ker A:
va beh ... basta prendere il sys omogeneo e risolverlo per Ax = 0. Abbiamo quindi:
Per trovare l' Im A devo porre un sys di questo tipo :
da qua come facci oad andare avanti ?? io dirrei che viene fuori un qualcosa tipo:
Se poi mi chiedono di trovare la dimansione del Ker A ed Im A ... ?
Grazie a tutti.
... quindi giro la domanda a voi sperando inuna spiegazione diversa da quella dei libri k ho consultato!! Spero che la mia domanda sia esauriente ... se sparo qualche caxxata ... coreggietemi plz matrice A :
0 -1 0 -2 2 0 0 0 0
ora, si chiede di trovare il Ker A:
va beh ... basta prendere il sys omogeneo e risolverlo per Ax = 0. Abbiamo quindi:
x-y=0 -2x+2y=0 z=0 Ker A = (1,1,0).
Per trovare l' Im A devo porre un sys di questo tipo :
x-y=x' -2x+2y=y' z=z'
da qua come facci oad andare avanti ?? io dirrei che viene fuori un qualcosa tipo:
x = 2x' y = x' z = boh :cry: Im A = (2, 1, ... ?? )
Se poi mi chiedono di trovare la dimansione del Ker A ed Im A ... ?
Grazie a tutti.
Risposte
L'immagine è formata dalle colonne linearmente indipendenti! Nel tuo caso, le prime 2... Quindi ha dimensione 2...
In generale, l'immagine ha dimensione uguale al rango della matrice (per l'appunto, colonne linearmenti indipendenti).
Per la dimensione del nucleo (che si trova giustamente come dici...) vale quindi la formula delle dimensioni:
per $f:V^n ->V^n$ si ha che $dim V = dim (ker f) + dim (im f);$
Chiaro?
In generale, l'immagine ha dimensione uguale al rango della matrice (per l'appunto, colonne linearmenti indipendenti).
Per la dimensione del nucleo (che si trova giustamente come dici...) vale quindi la formula delle dimensioni:
per $f:V^n ->V^n$ si ha che $dim V = dim (ker f) + dim (im f);$
Chiaro?
allora... "L'immagine è formata dalle colonne linearmente indipendenti!", (nel caso di una matrice a scala) vuoldire che essendo il rango pari ai pivot allora anche l'immagine avra' la stessa dimensione del rango ? quindi quando mi chiedono di trovare la dim dell'immagine di una matrice a scala diro' che è pari al rango della stessa matrice, ovvero, al numero di pivot che essa ha. se poi mi dice quali vettori rapresentano l'immagine della matrice: guardo i vettori che sono linearmente indipendenti e scrivo quelli ?? e la dimensione del nucleo ?? sono il numero di componenti che ha il vettore o il numero dei vettori che compongono il nucleo ? in parole povere.. se risulta una cosa del tipo:
nucleo A = (1,1,2,1); e mi chiedono la dim del nucleo ... 1 o 4 ?
Grazie !!
nucleo A = (1,1,2,1); e mi chiedono la dim del nucleo ... 1 o 4 ?
Grazie !!
Il rango (e quindi la dimensione dell'immagine) sarà uguale al numero di pivot.
La dimensione d'uno spazio vettoriale è data dalla cardinalità di una sua qualsiasi base, a prescindere dalla sua natura.
Quindi se hai $ker f := <(1,1,2,1)>$ la sua dimensione è 1, in quanto una sua base è formata da un solo elemento.
La dimensione d'uno spazio vettoriale è data dalla cardinalità di una sua qualsiasi base, a prescindere dalla sua natura.
Quindi se hai $ker f := <(1,1,2,1)>$ la sua dimensione è 1, in quanto una sua base è formata da un solo elemento.
penso di aver capito, facci oqualche esercizio e caso mai torno a rompere da voi :p Grazie
Figurati... Non aver paura, chiedi pure! 
ho visto gli esempi che c sono in qst pagina ma ancora non resco a capire come si trova ilnucleo di una matrice. Qualcuno puo scrivere un esempio con tutte le procedure?????????? Grazie
Il nucleo di una matrice non esiste. Si parla di nucleo di un'applicazione lineare. La matrice altro non fa che rappresentare un'applicazione lineare rispetto ad una base.
Per calcolare esplicitamente il nucleo non devi far altro che pensare alla sua definizione. Il $ker$ è un sottoinsieme del dominio la cui immagine è l'elemento nullo.
pertanto ti basta impostare l'equazione $f(v)=0$, ove $v=(x_1,...,x_n)$ è un generico vettore di $V$
Per calcolare esplicitamente il nucleo non devi far altro che pensare alla sua definizione. Il $ker$ è un sottoinsieme del dominio la cui immagine è l'elemento nullo.
pertanto ti basta impostare l'equazione $f(v)=0$, ove $v=(x_1,...,x_n)$ è un generico vettore di $V$
leggenndo questo topic ho visto che "BoG"scrive:"L'immagine è formata dalle colonne linearmente indipendenti!",ma si intende la dimensione dell'immagine,o prprpio l'immagine?
La dimensione dell' immagine!!!
scusa ma non capisco come da
nel sistema scrivi
$x-y=0$ quando la prima riga è
0 -1 0 -2 2 0 0 0 0
nel sistema scrivi
$x-y=0$ quando la prima riga è
0 -1 0e di conseguensa non dovresti scrivere solo $-y=0" ??
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