Immagine e nucleo di un endomorfismo
problemi con questo esercizio: dato $ f_h : (x; y; z) in R^3 rarr (x + y + z; hy + 2z; z) in R^3, h in R: $
determinare per ogni $ h in R $ una base di $ Im f_h e una base di Ker f_h $
facendo la matrice del sistema ho trovato che ha rango 3 per $ h != 0 $ quindi
per $ h != 0 rarr Im f_h = R^3 $ quindi $ Ker f_h =0 $
per $ h=0 rarr Im f_h = R^2 $ quindi $ Ker f_h = 1 $ dove la base di $ Im f_h $ è del tipo $ (x=-y-z;2z;z) $ quindi ad esempio $ (-1,0,0) (-1,2,1) $
come trovo la base di $ Ker f_h $ ???
determinare per ogni $ h in R $ una base di $ Im f_h e una base di Ker f_h $
facendo la matrice del sistema ho trovato che ha rango 3 per $ h != 0 $ quindi
per $ h != 0 rarr Im f_h = R^3 $ quindi $ Ker f_h =0 $
per $ h=0 rarr Im f_h = R^2 $ quindi $ Ker f_h = 1 $ dove la base di $ Im f_h $ è del tipo $ (x=-y-z;2z;z) $ quindi ad esempio $ (-1,0,0) (-1,2,1) $
come trovo la base di $ Ker f_h $ ???
Risposte
Semplicemente calcolando $f_0(x,y,z)=(0,0,0)$
Per il caso $h!=0$ siamo ok!
Per il caso $h=0$ diciamo che $dimImf=2$ e $B_Imf={(1,0,0),(1,2,1)}$, (basta prendere le colonne della matrice associata all'applicazione, quelle che intersecano il minore fondamentale). Mentre $dimKerf=1$, e per trovare una base devi risolvere il sistema $AX=0$ con $A$ matrice associata all'applicazione
Per il caso $h=0$ diciamo che $dimImf=2$ e $B_Imf={(1,0,0),(1,2,1)}$, (basta prendere le colonne della matrice associata all'applicazione, quelle che intersecano il minore fondamentale). Mentre $dimKerf=1$, e per trovare una base devi risolvere il sistema $AX=0$ con $A$ matrice associata all'applicazione
ok! per minore fondamentale intendi l'unico minore che ha rango 2 vero?
fatto il sistema e mi trovo! una base è per es (1,-1,0)
grazie!
fatto il sistema e mi trovo! una base è per es (1,-1,0)
grazie!
Si, diciamo che in generale il minore non è unico, ma basta trovarne uno che abbia il determinante diverso da zero.
Per la base, si va bene così.
Per la base, si va bene così.
ma quindi anche per trovare la base di un qualsiasi sottospazio posso applicare questa regola?
cioè una volta fatta la matrice associata al sottospazio, a meno che non abbia rango pieno ovviamente, le colonne che intersecano un minore diverso da zero sono base?
non so se mi sono spiegato bene
se per esempio ho una matrice 4x4 e vedo che non ha rango 4 ma 3, le colonne che intersecano la sottomatrice 3x3 con det diverso da zero formano una base?
cioè una volta fatta la matrice associata al sottospazio, a meno che non abbia rango pieno ovviamente, le colonne che intersecano un minore diverso da zero sono base?
non so se mi sono spiegato bene
se per esempio ho una matrice 4x4 e vedo che non ha rango 4 ma 3, le colonne che intersecano la sottomatrice 3x3 con det diverso da zero formano una base?
Si, una base per $Imf$ nel riferimento naturale però. Quando hai un riferimento $R$ diverso da quello naturale il discorso cambia un pochino. E comunque vale anche quando la matrice ha rango massimo; anzi proprio in questo caso, le colonne della matrice associata all'applicazione sono i vettori della base di $Imf$ che avrà dimensione massima.
ed ovviamente la base dell'immagine vale anche come base del sottospazio verò?
nel senso se un esercizio mi chiede di trovare la base del sottospazio e vedo che la matrice ricavata dal sistema ha rango massimo, allora le colonne della matrice rappresentano la base?
quindi messi in colonna, a formare una matrice, tre vettori di un sottospazio, se la matrice ha rango massimo, quei vettori rappresentano una base, giusto?
questo è il concetto?
nel senso se un esercizio mi chiede di trovare la base del sottospazio e vedo che la matrice ricavata dal sistema ha rango massimo, allora le colonne della matrice rappresentano la base?
quindi messi in colonna, a formare una matrice, tre vettori di un sottospazio, se la matrice ha rango massimo, quei vettori rappresentano una base, giusto?
questo è il concetto?
Si, per base ovviamente si intende base del sottospazio immagine
mi hai sbloccato un sacco di dubbi con questa cosa
E' una cosa che si capisce anche dalla costruzione di matrice associata all'applicazione, le cui colonne sono le componenti in N (rif. naturale) dei vettori di N, trasformati tramite l'applicazione f. Se ci rifletti su, vedi che è abbastanza ovvia come cosa.
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