Immagine e nucleo di \(B^{m}\)
Ciao, amici! Sto avendo qualche problema a capire un passaggio di una dimostrazione (da E. Sernesi, Geometria I, p. 178).
Sia \(B\in M_n(\mathbb{K})\text{\GL}_n(\mathbb{K})\) una matrice quadrata non invertibile, sia \(\mathbf{N}_m=\{\mathbf{x}\in\mathbb{K}^n:B^m\mathbf{x}=\mathbf{0}\}\), cioè il nucleo dell'operatore \(F_{B^m}:\mathbb{K}^n\to\mathbb{K}^n\) definito da \(B^m\) e sia \(\mathbf{W}^m=F_{B^m}(\mathbb{K}^n)\) l'immagine di \(F_{B^m}\), con \(\mathbf{W}_0=\mathbb{K}^n\) e \(\mathbf{N}_0=\langle\mathbf{0}\rangle\).
Mi è chiaro che, come dice il Sernesi, \(\mathbf{N}_0\subset\mathbf{N}_1\subset\mathbf{N}_2...\) e \(\mathbf{W}_0\supset\mathbf{W}_1\supset\mathbf{W}_2...\) e, che, se \(\mathbf{W}_m=\mathbf{W}_{m+1}\) allora
\[\mathbf{W}_{m+2}=F_B(\mathbf{W}_{m+1})=F_B(\mathbf{W}_m)=\mathbf{W}_{m+1}\]
e quindi \(\mathbf{W}_{m}=\mathbf{W}_{m+1}=\mathbf{W}_{m+2}=...\)
Il libro conclude dicendo che, se $q$ è il più piccolo valore di $m$ per cui \(\mathbf{W}_{m}=\mathbf{W}_{m+1}=\mathbf{W}_{m+2}=...\) allora si ha anche che
\[\mathbf{N}_1\subset\mathbf{N}_2...\subset\mathbf{N}_q=\mathbf{N}_{q+1}=\mathbf{N}_{q+2}=...\]
ma non mi è chiaro il motivo di questo ultimo fatto... Sicuramente mi starò perdendo in un bicchier d'acqua...
Qualcuno sarebbe così gentile da aiutarmi a capirne la ragione?
Grazie di cuore!!!
Sia \(B\in M_n(\mathbb{K})\text{\GL}_n(\mathbb{K})\) una matrice quadrata non invertibile, sia \(\mathbf{N}_m=\{\mathbf{x}\in\mathbb{K}^n:B^m\mathbf{x}=\mathbf{0}\}\), cioè il nucleo dell'operatore \(F_{B^m}:\mathbb{K}^n\to\mathbb{K}^n\) definito da \(B^m\) e sia \(\mathbf{W}^m=F_{B^m}(\mathbb{K}^n)\) l'immagine di \(F_{B^m}\), con \(\mathbf{W}_0=\mathbb{K}^n\) e \(\mathbf{N}_0=\langle\mathbf{0}\rangle\).
Mi è chiaro che, come dice il Sernesi, \(\mathbf{N}_0\subset\mathbf{N}_1\subset\mathbf{N}_2...\) e \(\mathbf{W}_0\supset\mathbf{W}_1\supset\mathbf{W}_2...\) e, che, se \(\mathbf{W}_m=\mathbf{W}_{m+1}\) allora
\[\mathbf{W}_{m+2}=F_B(\mathbf{W}_{m+1})=F_B(\mathbf{W}_m)=\mathbf{W}_{m+1}\]
e quindi \(\mathbf{W}_{m}=\mathbf{W}_{m+1}=\mathbf{W}_{m+2}=...\)
Il libro conclude dicendo che, se $q$ è il più piccolo valore di $m$ per cui \(\mathbf{W}_{m}=\mathbf{W}_{m+1}=\mathbf{W}_{m+2}=...\) allora si ha anche che
\[\mathbf{N}_1\subset\mathbf{N}_2...\subset\mathbf{N}_q=\mathbf{N}_{q+1}=\mathbf{N}_{q+2}=...\]
ma non mi è chiaro il motivo di questo ultimo fatto... Sicuramente mi starò perdendo in un bicchier d'acqua...
Qualcuno sarebbe così gentile da aiutarmi a capirne la ragione?
Grazie di cuore!!!
Risposte
Forse ci sono: visto che \(\mathbf{W}_m=\mathbf{W}_{m+1}\) implica ovviamente \(\dim(\mathbf{W}_m)=r(F_{B^m})=r(F_{B^{m+1}})\) e per ogni generica applicazione lineare $F$ si ha che \(r(F)+\dim(\ker F)=\dim(\text{dom} F)\) allora \(\dim(\mathbf{N}_m)=\dim(\mathbf{N}_{m+1})\). Visto che ogni base \(\{\mathbf{n}_1,...,\mathbf{n}_k\}\) di \(\mathbf{N}_{m}\) è tale che \(\{\mathbf{n_1},...,\mathbf{n}_k\}\subset\mathbf{N}_{m+1}\), dato che \(\dim(\mathbf{N}_{m+1})=k=\dim(\mathbf{N}_{m})\) allora \(\mathbf{N}_{m}=\langle\mathbf{n}_1,...,\mathbf{n}_k\rangle=\mathbf{N}_{m+1}\).
O sto dando i numeri, o mi ero davvero perso in un bicchier d'acqua...
O sto dando i numeri, o mi ero davvero perso in un bicchier d'acqua...
...mi rimane un dubbio: ho tutta l'impressione che per l'inclusione reiterata di \(\mathbf{W}_0\supset\mathbf{W}_1\supset\mathbf{W}_2\supset\mathbf{W}_3\supset...\) si abbia che necessariamente, ad un certo $q$, si debba avere che \(\mathbf{W}_q=\mathbf{W}_{q+1}\), perché \(\dim(\mathbf{W}_k)\geq\dim(\mathbf{W}_{k+1})\)... Ho le travegole?
Grazie di cuore per conferme o smentite!!!
Grazie di cuore per conferme o smentite!!!
Studiando, sempre sul Sernesi, la dimostrazione del teorema di Jordan, mi sembra dare per scontato che esista in effetti per ogni \(B\in M_n(\mathbb{K})\) un tale $q$, quindi mi sento sicuro che sia così, ma sarei $oo$-mente riconoscente per ogni conferma o smentita...
Sì..è certamente così.
Considera le dimensioni:
tu hai $W_0 \supseteq W_1 \supseteq ... $; in particolare $\dim W_0 \ge \dim W_1 \ge ...s$. Questo definisce una successione decrescente di numeri naturali. Ma ogni successione decrescente di numeri naturali è stazionaria, cioè da un certo punto in poi è costante (banale applicazione del principio del minimo).
Questo ti dice che da un certo punto in poi la dimensione del tuo $W_n$ è stazionaria e questo in particolare garantisce che $W_n$ sia stazionario.
Il passaggio dal nucleo anche io lo avrei fatto utilizzando la decomposizione naturale data da un'operatore qualsiasi (credo che in certi testi si chiami addirittura Teorema Fondamentale dell'Algebra Lineare, o qualcosa del genere).
Attenzione: è fondamentale l'ipotesi che la dimensione dello spazio di partenza sia finita. In dimensione infinita, sebbene si riesca a dire molto sfruttando tecniche non poi così diverse, non vale che una successione decrescente di sottospazi è stazionaria. Prova a pensare a un esempio (hint: $\mathbb{K} ^\NN$ dovrebbe essere sufficiente)
Considera le dimensioni:
tu hai $W_0 \supseteq W_1 \supseteq ... $; in particolare $\dim W_0 \ge \dim W_1 \ge ...s$. Questo definisce una successione decrescente di numeri naturali. Ma ogni successione decrescente di numeri naturali è stazionaria, cioè da un certo punto in poi è costante (banale applicazione del principio del minimo).
Questo ti dice che da un certo punto in poi la dimensione del tuo $W_n$ è stazionaria e questo in particolare garantisce che $W_n$ sia stazionario.
Il passaggio dal nucleo anche io lo avrei fatto utilizzando la decomposizione naturale data da un'operatore qualsiasi (credo che in certi testi si chiami addirittura Teorema Fondamentale dell'Algebra Lineare, o qualcosa del genere).
Attenzione: è fondamentale l'ipotesi che la dimensione dello spazio di partenza sia finita. In dimensione infinita, sebbene si riesca a dire molto sfruttando tecniche non poi così diverse, non vale che una successione decrescente di sottospazi è stazionaria. Prova a pensare a un esempio (hint: $\mathbb{K} ^\NN$ dovrebbe essere sufficiente)
Dubbio fugato. Non sai quanto ti sono riconoscente: ora direi che posso sentirmi sicuro di aver compreso la dimostrazione del teorema di Jordan, basata su questo fatto.
Sì, \(\dim(\text{dom}F)=n<\infty\Rightarrow\dim(\text{ker}F)+\dim(\text{im}F)=n\) è chiamato teorema fondamentale dell'algebra lineare per esempio dallo Strang, che sto seguendo, soprattutto come eserciziario, in parallelo al Sernesi.
Grazie di cuore!!!!!!!
Sì, \(\dim(\text{dom}F)=n<\infty\Rightarrow\dim(\text{ker}F)+\dim(\text{im}F)=n\) è chiamato teorema fondamentale dell'algebra lineare per esempio dallo Strang, che sto seguendo, soprattutto come eserciziario, in parallelo al Sernesi.
Grazie di cuore!!!!!!!
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