Immagine e Kernel, dubbio sintassi.

[Vagn]

Ciao ragazzi. Non riesco a capire una cosa riguardante Kernel e Immagini di applicazioni lineari. Vi posto lo screen della cosa ..



Non capisco il riquadrino rosso: affermare che [size=134]$w in Im f$[/size], significa avere la certezza che esiste ALMENO un vettore [size=134]$v in V$[/size] tale che [size=134]$f(v) = w$[/size] .. fin qui ci siamo. Allora non mi spiego come mai, quando viene esplicitato l'insieme di quei vettori del dominio la cui immagine è [size=134]$w$[/size] (ultima riga), si inseriscono anche i vettori del Kernel.

Nell'ultima riga, si richiedono tutti quei vettori del dominio che hanno una immagine qualunque nel codominio (e quindi ci starebbero anche i vettori del Kernel, perchè [size=134]$0 in W$[/size]), o solo quei vettori del dominio la cui immagine è specificatamente il singolo vettore [size=134]$w$[/size] (e allora non mi spiego la presenza dei vettori del Kernel)?

[mistake89]

Praticamente preso un vettore $w in imF$ sai che esiste almeno un vettore tale che $F(v)=w$.
Tuttavia non solo $v$ darà come risultato $w$ ma tutti quei vettori della forma $v+u$ con $u in KerF$. Infatti secondo definizione di $KefF$ (ovvero $F(u)=0$), sfruttando la linearità di $F$ si ha che $F(v+u)=F(v)+F(u)=w+0=w$