Immagine e controimmagine

[psycho92]

Salve ho un dubbio su quest'ultima cosa non capisco la differenza tra immagine e controimagine...o meglio finchè si tratta di punti è detto chiaro lo immagino come una funzione,ma appena si parla di curve il tutto è molto più oscuro,prendiamo una retta y=mx+q si vuole calcolare la sua immagine tramite un applicazione lineare... ora mi dispiace dirlo ma io lo faccio molto meccanicamente,ovvero se devo calcolare l'immagine faccio l'inversa dell'applicazione ecc.... se devo fare la controimmagine invece sostituisco direttamente la x con x'...i risultati tornano ma non ho assolutamente idea della differenza tra queste io ho cercato di interpretarla come se l'immagine trasformasse nelle coordinate x' y' mentre la controimmagine riporti indietro però ripeto non sono sicuro di nulla,qualche aiuto?

[Riccardo Desimini]

Osserva attentamente analogie e differenze tra le seguenti definizioni.

(1) Immagine di un sottospazio vettoriale

Sia $ f $ $ : $ $ V \rightarrow W $ un'applicazione lineare di $ \mathbb{K} $-spazi vettoriali e sia $ H $ un sottospazio di $ V $. L'immagine di $ H $ attraverso $ f $ è il sottoinsieme di $ W $:

$ f(H) = \{ f(\mathbf{w}) \in W : \mathbf{w} \in H \} $

Si può dimostrare che $ f(H) $ è un sottospazio vettoriale di $ W $.

(2) Controimmagine di un sottospazio vettoriale

Sia $ f $ $ : $ $ V \rightarrow W $ un'applicazione lineare di $ \mathbb{K} $-spazi vettoriali e sia $ K $ un sottospazio di $ W $. La controimmagine di $ K $ attraverso $ f $ è il sottoinsieme di $ V $:

$ f^{-1}(K) = \{ \mathbf{v} \in V : f(\mathbf{v}) \in K \} $

Si può dimostrare che $ f^{-1}(K) $ è un sottospazio di $ V $.

N.B.: Non bisogna assolutamente fare confusione tra la controimmagine di $ K $ attraverso $ f $ e l'applicazione lineare inversa $ f^{-1} $ (anche se le notazioni utilizzate sono le stesse).

[psycho92]

scusa per l'attesa della risposta ma ci ho voluto pensare un attimo e ti dico la mia,di solito mi piace pensare a IM e controIM come un cambio di coordinate e x' y' sono le coordinate nuove e x e y quelle vecchie diciamo che io faccio sempre questo ragionamento che alla fine quando si dice trova l'IM o controim non c'è una via per dire faccio l'immagine faccio la controimmagine poichè io non sò quali coordinate ho in mano a meno che come spesso mi viene detto es: se mi si dice calcolare l'immagine dell'eq ..... tramite un certa affinità ora il mio problema è se non so sè le nuove coordinate e in tal caso avrei x' y'(se sò di avere le nuove) ma supponiamo che non lo sappia sono nel buio,non se comprendi il mio ragionamento in un esercizio viene chiesto data la conica x^2+2y^2=1 tramite una certa proiettività calcolarne l'immagine...ecco se mi avesse detto calcolare la controimmagine? come sarebbe stato possibile visto che alla fine sto cercando di esprimere quella conica in altre coordinate devo trovare per forza l'espressione x=x'+y' quindi è inutile che mi si chieda di fare l'immagine visto che è l'unica cosa che posso fare,e allora che differenza c'è tra immagine e controimmagine? se quella conica fosse stata scritta come x'^2+y'^2=1 e mi si chiedeva l'immagine? sarebbe impossibile o meglio l'unica cosa che viene naturale fare è x'=..... che però è la controimmagine(credo) insomma è difficile anche farti capire le mie perplessità però tu o qualcuno provino a sciogliermi questi dubbi magari con un linguaggio meno matematico di sopra poichè preferisco prima capire bene i concetti e poi capirli in modo rigoroso,grazie per la lunga attenzione

[Riccardo Desimini]

Adottiamo un approccio semplificato.

Sia $ f $ $ : V \rightarrow W $ un'applicazione lineare di $ \mathbb{K} $-spazi vettoriali e sia $ \mathbf{v} \in V $; il vettore immagine di $ \mathbf{v} $ attraverso $ f $ è il vettore $ \mathbf{w} = f(\mathbf{v}) \in W $. Un vettore controimmagine di $ \mathbf{w} $ è $ \mathbf{v} $.

A parole: se io considero un generico vettore $ \mathbf{v} $ del dominio di $ f $, il suo vettore immagine attraverso $ f $ (per semplicità si usa dire semplicemente l'immagine di $ \mathbf{v} $) è quel vettore $ \mathbf{w} $ che ottengo applicando $ f $ a $ \mathbf{v} $. Il vettore $ \mathbf{v} $ è un vettore controimmagine di $ \mathbf{w} $ attraverso $ f $ (per semplicità si usa dire semplicemente una controimmagine di $ \mathbf{w} $$$), cioè un vettore la cui immagine è $ \mathbf{w} $.

Ora puoi estendere il ragionamento leggendo il mio post iniziale.

[psycho92]

grazie ma questo lo sapevo già è che se come in molti esercizi in cui viene chiesto determinare l'im o controimmagine come faccio a sapere se ho già le coordinate trasformate o meno? io ragiono che se mi si chide la controimmagine parto da coordinate x' y' se mi si chiede im parto da x y considerando sempre l'applicazione che porta cordinate x,y a coordinate x' y' va bene?

[Riccardo Desimini]

Posta un esercizio specifico e lo risolviamo assieme.