Immagine di un'applicazione lineare, teoria e pratica (e rango)
Ciao a tutti!
Vi chiedo aiuto perché ho qualche problema con l’immagine di un’applicazione lineare. Più o meno credo di aver capito il concetto teorico, ma in pratica ho qualche dubbio.
Ad esempio ho un esercizio in cui è data la matrice seguente:
$ ( ( -1 , 0 , 5 ),( 4 , 4-8x , -20 ),( -1 , 8x-4 , y+9 ) ) $
E chiede per quali valori di $x ,y$ il vettore $[1, -4, 3]$ appartiene all’insieme immagine della matrice.
Poiché l’insieme immagine è il sottospazio generato dall’applicazione/matrice (è corretto?), svolgo alcune operazioni per ridurrla a gradini e trovare i vettori linearmente indipendenti, ottenendo:
$ ( ( 1 , 0 , -5 ),( 0 , 4-8x , 0 ),( 0 , 0 , -y-4 ) ) $
A questo punto vedo (o credo di vedere) che il vettore in questione appartiene all’insieme immagine di A per $x=-2$ e $y=-7$.
In questo modo la matrice diventa:
$ ( ( 1 , 0 , 0 ),( 0 , -4 , 0 ),( 0 , 0 , 3 ) ) $
Che (credo) potrei ulteriormente ridurre alla matrice unitaria che potrebbe generare l’insieme immagine e il vettore cercato per la combinazione lineare $1*E1-4*E2+3*E3$ (su questo però ho seri dubbi a riguardo).
Un po’ di senso in questo ragionamento mi pare vi sia, però non ne sono troppo convinto. Inoltre la soluzione mi sembra troppo “ad occhio” e con poca eleganza (e zero rigore). Mi sapreste dare qualche delucidazione teorica e pratica per individuare meglio i concetti?
Inoltre avrei una domanda aggiuntiva sempre a proposito dello stesso esercizio. Devo determinare il rango al variare dei parametri $x,y$. Da
$ ( ( 1 , 0 , -5 ),( 0 , 4-8x , 0 ),( 0 , 0 , -y-4 ) ) $
Vedo che:
$Rank =3$ per $x \ne1/2$, $y \ne-4$
$Rank = 2$ per$ x=1/2$, $y \ne-4$ oppure per $x \ne1/2$, $y=-4$
$Rank =1$ per per $x=1/2$, $y=-4$
Di questo punto sono piuttosto sicuro, tuttavia mi sembra ancora di risolvere “ad occhio”, per caso vi sarebbe un modo più rigoroso di procedere?
Grazie mille in anticipo e spero di non aver commesso errori nelle trascrizioni.
Vi chiedo aiuto perché ho qualche problema con l’immagine di un’applicazione lineare. Più o meno credo di aver capito il concetto teorico, ma in pratica ho qualche dubbio.
Ad esempio ho un esercizio in cui è data la matrice seguente:
$ ( ( -1 , 0 , 5 ),( 4 , 4-8x , -20 ),( -1 , 8x-4 , y+9 ) ) $
E chiede per quali valori di $x ,y$ il vettore $[1, -4, 3]$ appartiene all’insieme immagine della matrice.
Poiché l’insieme immagine è il sottospazio generato dall’applicazione/matrice (è corretto?), svolgo alcune operazioni per ridurrla a gradini e trovare i vettori linearmente indipendenti, ottenendo:
$ ( ( 1 , 0 , -5 ),( 0 , 4-8x , 0 ),( 0 , 0 , -y-4 ) ) $
A questo punto vedo (o credo di vedere) che il vettore in questione appartiene all’insieme immagine di A per $x=-2$ e $y=-7$.
In questo modo la matrice diventa:
$ ( ( 1 , 0 , 0 ),( 0 , -4 , 0 ),( 0 , 0 , 3 ) ) $
Che (credo) potrei ulteriormente ridurre alla matrice unitaria che potrebbe generare l’insieme immagine e il vettore cercato per la combinazione lineare $1*E1-4*E2+3*E3$ (su questo però ho seri dubbi a riguardo).
Un po’ di senso in questo ragionamento mi pare vi sia, però non ne sono troppo convinto. Inoltre la soluzione mi sembra troppo “ad occhio” e con poca eleganza (e zero rigore). Mi sapreste dare qualche delucidazione teorica e pratica per individuare meglio i concetti?
Inoltre avrei una domanda aggiuntiva sempre a proposito dello stesso esercizio. Devo determinare il rango al variare dei parametri $x,y$. Da
$ ( ( 1 , 0 , -5 ),( 0 , 4-8x , 0 ),( 0 , 0 , -y-4 ) ) $
Vedo che:
$Rank =3$ per $x \ne1/2$, $y \ne-4$
$Rank = 2$ per$ x=1/2$, $y \ne-4$ oppure per $x \ne1/2$, $y=-4$
$Rank =1$ per per $x=1/2$, $y=-4$
Di questo punto sono piuttosto sicuro, tuttavia mi sembra ancora di risolvere “ad occhio”, per caso vi sarebbe un modo più rigoroso di procedere?
Grazie mille in anticipo e spero di non aver commesso errori nelle trascrizioni.
Risposte
Il teorema di Rouché-Capelli dice che un vettore appartiene all'immagine di una matrice se il rango della matrice completa è uguale a quello della matrice incompleta.
Tu hai cercato valori di x e y in modo che sulla diagonale della matrice comparissero i valori del vettore. Questa cosa non ha alcuna utilità al fine di vedere se il vattore appartinene all'immagine, anche perché hai ridotto a scala senza tener conto del vettore, il ché rende ancora più insensata la tua procedura ( senza offesa, sia chiaro ). Rivedi per bene la teoria, e riprova a fare l'esercizio.
Tu hai cercato valori di x e y in modo che sulla diagonale della matrice comparissero i valori del vettore. Questa cosa non ha alcuna utilità al fine di vedere se il vattore appartinene all'immagine, anche perché hai ridotto a scala senza tener conto del vettore, il ché rende ancora più insensata la tua procedura ( senza offesa, sia chiaro ). Rivedi per bene la teoria, e riprova a fare l'esercizio.
Grazie della risposta. Nessuna offesa, sono qui per imparare 
Sì in effetti quanto ho fatto non ha un gran senso, é che per ricavare il rango mi sono usciti i valori cercati e mi hanno messo una gran confusione.
Allora per risolvere il problema imposto la matrice:
$ ( ( -1 , 0 , 5 , 1 ),( 4 , 4-8x , -20 , -4 ),( -1 , 8x-4 , y+9, 3 ) ) $
e ricavo:
$ ( ( 1 , 0 , -5 , -1 ),( 0 , 4-8x , 0 , 0 ),( 0 , 0 , -y-4, -2 ) ) $
da cui posso studiare per quali valori il vettore appartiene all'immagine della matrice, corretto?
Nel caso, analogamente alla determinazione del rango fatta nel primo messaggio osservo che il vettore appartiene all'immagine (ossia matrice incompleta e matrice completa hanno lo stesso rango) se:
$Rank(A)=Rank(A|b)=3$ per $xne1/2$ e $yne-4$
Così facendo osservo i vettori linearmente indipendenti della matrice A (in questo caso tutti e 3) che generano l'insieme immagine e contemporaneamente le condizioni per cui il vettore b vi appartiene. Sbaglio (ancora)?
Grazie
Sì in effetti quanto ho fatto non ha un gran senso, é che per ricavare il rango mi sono usciti i valori cercati e mi hanno messo una gran confusione.
Allora per risolvere il problema imposto la matrice:
$ ( ( -1 , 0 , 5 , 1 ),( 4 , 4-8x , -20 , -4 ),( -1 , 8x-4 , y+9, 3 ) ) $
e ricavo:
$ ( ( 1 , 0 , -5 , -1 ),( 0 , 4-8x , 0 , 0 ),( 0 , 0 , -y-4, -2 ) ) $
da cui posso studiare per quali valori il vettore appartiene all'immagine della matrice, corretto?
Nel caso, analogamente alla determinazione del rango fatta nel primo messaggio osservo che il vettore appartiene all'immagine (ossia matrice incompleta e matrice completa hanno lo stesso rango) se:
$Rank(A)=Rank(A|b)=3$ per $xne1/2$ e $yne-4$
Così facendo osservo i vettori linearmente indipendenti della matrice A (in questo caso tutti e 3) che generano l'insieme immagine e contemporaneamente le condizioni per cui il vettore b vi appartiene. Sbaglio (ancora)?
Grazie
Bene, ora ci siamo....ma non del tutto ancora.
Ti faccio osservare che se $x=1/2$ e $y\ne-4$ avresti ancora che il vettore appartiene all'immagine dato che vale Rouché-Capelli (entrambe le matrici hanno rango 2). Quindi in realtà la condizione di appartenenza è solo $y\ne -4$ (la $x$ può essere qualunque). Ti torna?
Ti faccio osservare che se $x=1/2$ e $y\ne-4$ avresti ancora che il vettore appartiene all'immagine dato che vale Rouché-Capelli (entrambe le matrici hanno rango 2). Quindi in realtà la condizione di appartenenza è solo $y\ne -4$ (la $x$ può essere qualunque). Ti torna?
Mi torna. Infatti mi era venuta l'idea che fosse sufficiente $yne-4$ ma non ne ero certo.
Grazie ancora per l'aiuto!
Grazie ancora per l'aiuto!
Avrei un'altra domanda, che dato penso si applichi lo stesso teorema faccio direttamente qui senza aprire una nuova discussione.
Il teorema di Rouché-Capelli posso applicarlo anche per osservare se un vettore appartiene ad un determinato spazio vettoriale, vero?
Perché ho un esercizio in cui mi sono dati 3 vettori che generano uno spazio vettoriale, calcolando il rango della matrice formata dai 3 vettori scopro che ha dimensione 3 e quindi essi sono una base dello spazio. In seguito mi é dato un vettore e mi viene chiesto di verificare per quale valore di un parametro esso appartiene allo spazio vettoriale generato dai 3 vettori precedenti.
Riporto i dati nella matrice formata dai 3 vettori generatori dello spazio e il vettore che voglio verificare se vi appartiene:
$(( 3 , -2 , 3 , k ),( -2 , 1 , -1 , 0 ),( 5 , 3 , 0 , -27 ))$
e con l'algoritmo di Gauss arrivo ad ottenere:
$(( 1 , 0 , -3 , -2k ),( 0 , 1 , -1 , -k ),( 0 , 0 , 14 , -27+11k ))$
Se non ho sbagliato ad applicare il teorema ne deduco che il vettore appartiene allo spazio per qualsiasi valore di k, ma questo perché (credo) i tre vettori generano l'intero spazio dei vettori a 3 componenti dato che il rango della matrice A (formata dai tre vettori generatori dello spazio) sarà sempre uguale a 3, e di conseguenza anche della matrice (A|b).
Sbaglio io oppure é il risultato dell'esercizio che mi mette confusione cercando di farmi pensare che qualcosa non va?
Il teorema di Rouché-Capelli posso applicarlo anche per osservare se un vettore appartiene ad un determinato spazio vettoriale, vero?
Perché ho un esercizio in cui mi sono dati 3 vettori che generano uno spazio vettoriale, calcolando il rango della matrice formata dai 3 vettori scopro che ha dimensione 3 e quindi essi sono una base dello spazio. In seguito mi é dato un vettore e mi viene chiesto di verificare per quale valore di un parametro esso appartiene allo spazio vettoriale generato dai 3 vettori precedenti.
Riporto i dati nella matrice formata dai 3 vettori generatori dello spazio e il vettore che voglio verificare se vi appartiene:
$(( 3 , -2 , 3 , k ),( -2 , 1 , -1 , 0 ),( 5 , 3 , 0 , -27 ))$
e con l'algoritmo di Gauss arrivo ad ottenere:
$(( 1 , 0 , -3 , -2k ),( 0 , 1 , -1 , -k ),( 0 , 0 , 14 , -27+11k ))$
Se non ho sbagliato ad applicare il teorema ne deduco che il vettore appartiene allo spazio per qualsiasi valore di k, ma questo perché (credo) i tre vettori generano l'intero spazio dei vettori a 3 componenti dato che il rango della matrice A (formata dai tre vettori generatori dello spazio) sarà sempre uguale a 3, e di conseguenza anche della matrice (A|b).
Sbaglio io oppure é il risultato dell'esercizio che mi mette confusione cercando di farmi pensare che qualcosa non va?
Dato che i tre vettori sono una base è ovvio che qualunque altro vettore è scrivibile come una loro combinazione lineare. Non c'era biogno di fare nessun calcolo, dato che sicuramente per qualunque $k$ il vettore sarebbe appartenuto al loro Span.
Ho capito, grazie ancora per l'aiuto!
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