Immagine di un'applicazione lineare
Se l'applicazione è suriettiva, l'immagine coincide con il codominio, e ovviamente in tal caso immagine e codominio hanno la stessa dimensione finita n.
Non ho capito però il viceversa : se l'immagine e il codominio hanno la stessa dimensione finita n, allora l'applicazione è suriettiva.
Come si dimostra ? ( anche intuitivamente mi basterebbe )
grazie
Non ho capito però il viceversa : se l'immagine e il codominio hanno la stessa dimensione finita n, allora l'applicazione è suriettiva.
Come si dimostra ? ( anche intuitivamente mi basterebbe )
grazie
Risposte
"olanda2000":
Se l'applicazione è suriettiva, l'immagine coincide con il codominio, e ovviamente in tal caso immagine e codominio hanno la stessa dimensione.
Davvero?
@Bokonon Sei sarcastico o serio? Perché mi sfugge l'errore! 
@olanda2000 L'implicazione inversa è vera nel caso in cui il codominio ha dimensione finita: hai qualche idea del perché?
Esempio: Considera lo spazio vettoriale delle successioni reali a supporto finito[nota]Ovvero successioni definitivamente nulle![/nota] \(\displaystyle\mathbb{V}=\mathbb{R}^{(\infty)}\), l'operatore lineare traslazione destra \(\displaystyle\tau_r:(a_1,a_2,\dotsc)\in\mathbb{V}\to(0,a_1,\dotsc)\in\mathbb{V}\) non è suriettiva, eppure dominio e codominio hanno dimensione infinita numerabile[nota]Ogni loro base è equipotente ad \(\displaystyle\mathbb{N}_{\geq1}\)[/nota].
Ti è chiaro il perché?
@olanda2000 L'implicazione inversa è vera nel caso in cui il codominio ha dimensione finita: hai qualche idea del perché?
Esempio: Considera lo spazio vettoriale delle successioni reali a supporto finito[nota]Ovvero successioni definitivamente nulle![/nota] \(\displaystyle\mathbb{V}=\mathbb{R}^{(\infty)}\), l'operatore lineare traslazione destra \(\displaystyle\tau_r:(a_1,a_2,\dotsc)\in\mathbb{V}\to(0,a_1,\dotsc)\in\mathbb{V}\) non è suriettiva, eppure dominio e codominio hanno dimensione infinita numerabile[nota]Ogni loro base è equipotente ad \(\displaystyle\mathbb{N}_{\geq1}\)[/nota].
Ti è chiaro il perché?
"j18eos":
@Bokonon Sei sarcastico o serio? Perché mi sfugge l'errore!
@olanda2000 L'implicazione inversa è vera nel caso in cui il codominio ha dimensione finita: hai qualche idea del perché?
Esempio: Considera lo spazio vettoriale delle successioni reali a supporto finito[nota]Ovvero successioni definitivamente nulle![/nota] \(\displaystyle\mathbb{V}=\mathbb{R}^{(\infty)}\), l'operatore lineare traslazione destra \(\displaystyle\tau_r:(a_1,a_2,\dotsc)\in\mathbb{V}\to(0,a_1,\dotsc)\in\mathbb{V}\) non è suriettiva, eppure dominio e codominio hanno dimensione infinita numerabile[nota]Ogni loro base è equipotente ad \(\displaystyle\mathbb{N}_{\geq1}\)[/nota].
Ti è chiaro il perché?
sì. Ho aggiunto la precisazione nella mia domanda , la dimensione è finita
"j18eos":
@Bokonon Sei sarcastico o serio? Perché mi sfugge l'errore!
Ero serio
Avevo letto dominio&immagine invece che codominio&immagine (che è effettivamente una deduzione ovvia).
@Bokonon Lo immaginavo...
@olanda2000 Hai un'idea di soluzione?
@olanda2000 Hai un'idea di soluzione?
"j18eos":
@Bokonon Lo immaginavo...
@olanda2000 Hai un'idea di soluzione?
Sì, mi sono ricordato il teorema " due spazi con uguale dimensione sono isomorfi" .
Adesso devo dimostrare quello e sono a posto!
Indizio: fissa una base nel codominio, e costruisci un'applicazione lineare (suriettiva di conseguenza). Enjoy it!
@j18oes, non capisco cosa serva costruire basi. L'immagine è, per definizione, contenuta nel codominio. Quindi , se i due spazi hanno la stessa dimensione finita, allora una base dell'immagine è anche una base del codominio. Insomma, ogni spazio vettoriale ha un solo sottospazio della sua stessa dimensione: sé stesso. È sostanzialmente un lemma del teorema che afferma che ogni insieme linearmente indipendente della stessa dimensione di una base è anch'esso una base.
@vict85 Hai ragione: stavo pensando a tutt'un altro ragionamento...
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