Immagine di una funzione

[riki1997]

Sia data $ f:Mat(2,2)rarr R^2 $ tale che $ f( ( a , b ),( c , d ) ) = (a+d,c-b) $

trovare $ f^-1(4,2) $

io ho imposto il sistema $ { ( a+d=4 ),( c-b=2 ):} $ a questo punto cosa devo fare? devo trovare una soluzione particolare ?

ad esempio ponendo a=1 e c=0 ottengo $ ( ( 1 , -2 ),( 0 , 3) ) $

[feddy]

Quello che stai cercando tu è la controimmagine, non l'immagine.

Data un'applicazione $f:V rightarrow W$ lineare, si definisce controimmagine del vettore $w$ tramite $f$ come l'insieme dei vettori $v$ che vengono mappati in $w$ tramite $f$. Cioè:

$F^-1(w)={v in V| F(v)=w}={v in V| A*v=w}$, dove $A$ è la matrice associata all'applicazione.

Si tratta quindi di risolvere il sistema lineare $A*v=w$

Nel tuo caso è abbastanza veloce. Come vedi se trovi l'immagine tramite $f$ della tua matrice ottieni proprio $(4,2)$, che è il risultato cercato.

[riki1997]

Ma nel calcolo di questo sistema lineare devo fare riferimento alla base canonica oppure a quella che mi richiede l'esercizio, perché l'esercizio mi chiedeva prima di calcolare la matrice associata rispetto a due basi B e B' ...

[feddy]

Cambiano solo i conti.

Se la tua matrice è associata a due basi diverse da quella canonica, allora avrai un sistema lineare diverso, ma il procedimento è lo stesso.

[riki1997]

Quindi essendo la mia matrice $ A=( ( 2 , 1 , 3 , 1 ),( 4 , 3 , 2 , 0 ) ) $
Il sistema che ottengo è questo $ { ( 2a+b+3c+d=4),( 4a+3b+2c=2 ):} $ giusto ?

[feddy]

Esatto. Risolvilo e troverai il valori di $a,b,c,d$ tali per cui l'immagine è $(4,2)$.