Immagine di una applicazione lineare
Ciao a tutti, ho provato a svolgere quest'esercizio ma non so se è giusto... Lo posto...
Sia $ M=( ( k , (k-1) / 2 ),( 1 , k ),( -k , 3(1-k) / 2 ),( k , 1 ) ) $ la matrice associata all'applicazione $ f: RR ^ 2rarr RR ^ 4 $ rispetto alle basi canoniche. Per quali valori di $ k in RR $ si ha $ ( 4 , 4 , -6 , 4 ) in Imf $ ?
Io ho esplicitato la funzione $ f(x,y)= (kx+(k-1)y / 2, x+ky, -kx+3y(1-k) / 2, kx+1) $ e imposto $ ( 4 , 4 , -6 , 4 ) = (kx+(k-1)y / 2, x+ky, -kx+3y(1-k) / 2, kx+1) $ . E' giusto se risolvo il sistema che viene fuori da quest'uguaglianza?
Sia $ M=( ( k , (k-1) / 2 ),( 1 , k ),( -k , 3(1-k) / 2 ),( k , 1 ) ) $ la matrice associata all'applicazione $ f: RR ^ 2rarr RR ^ 4 $ rispetto alle basi canoniche. Per quali valori di $ k in RR $ si ha $ ( 4 , 4 , -6 , 4 ) in Imf $ ?
Io ho esplicitato la funzione $ f(x,y)= (kx+(k-1)y / 2, x+ky, -kx+3y(1-k) / 2, kx+1) $ e imposto $ ( 4 , 4 , -6 , 4 ) = (kx+(k-1)y / 2, x+ky, -kx+3y(1-k) / 2, kx+1) $ . E' giusto se risolvo il sistema che viene fuori da quest'uguaglianza?
Risposte
Si così va bene, certo ci possono essere anche altre strategie.
Attenzione che l'ultima componente dell'applicazione lineare è $kx+y$.
Attenzione che l'ultima componente dell'applicazione lineare è $kx+y$.
Hai ragione, non me ne ero proprio accorta! Ma in questo modo dovrei risolvere in sistema di 4 equazioni nelle incognite x,y,k? Avevo pensato anche di affiancare quel vettore in colonna alla matrice M e di imporre che il rango delle due matrici sia uguale. Che ne pensi? Può essere più corretto così?
E' un sistema parametrico (parametro $kinRR$) di $4$ equazioni in $2$ variabili.
Le due colonne della matrice scritta sono i generatori di $Imf$, imporre che il rango delle due matrici sia uguale è una strategia valida.
Le due colonne della matrice scritta sono i generatori di $Imf$, imporre che il rango delle due matrici sia uguale è una strategia valida.
Ok, grazie. Mi è stato più semplice usare questa seconda strategia. Tu avresti fatto in un altro modo? Così, per sapere ;D
Un'altra osservazione: stamattina ho rifatto l'esercizio in entrambi i modi. Utilizzando il primo (impostando il sistema) ottengo solo il valore $ k=3 $ , mentre imponendo l'uguaglianza del rango delle matrici ottengo i valori $ k=3 ^^ k=1 $ . Per verificare l'esattezza dello svolgimento ho sostituito $ k=3 $ e effettivamente è risultato che il vettore $ (4,4,-6,4) $ era somma dei due vettori dell'immagine. Invece quando ho sostituito $ k=1 $ ho trovato che il vettore $ (4,4,-6,4) $ e i due vettori dell'immagine erano linearmente indipendenti. Quindi solo il valore $ k=3 $ è accettabile. Se avessi svolto solo il secondo metodo, come avrei fatto ad escludere a priori $ k=1 $?
Ovvio che i due procedimenti sono equivalenti e devono condurre allo stesso risultato. Bisogna vedere come hai ragionato sui ranghi delle due matrici.
Considera la sottomatrice $M_(2,4)^(1,2)$, il suo determinante è $1-k^2!=0iffk!=+-1$. Se orli tale sottomatrice con la seconda e terza colonna otterrai una matrice con determinante $4k^2-16k+12!=0iffk!=1$ e $k!=3$.
A questo punto si conclude che se $k!=-1$,$k!=1$, $k!=3$ allora il vettore $(4,4,-6,4)$ non appartiene all'immagine.
Non resta che esaminare i casi particolari $k=-1$,$k=1$, $k=3$.
Troverai che le due matrici hanno lo stesso rango solo per $k=3$.
Considera la sottomatrice $M_(2,4)^(1,2)$, il suo determinante è $1-k^2!=0iffk!=+-1$. Se orli tale sottomatrice con la seconda e terza colonna otterrai una matrice con determinante $4k^2-16k+12!=0iffk!=1$ e $k!=3$.
A questo punto si conclude che se $k!=-1$,$k!=1$, $k!=3$ allora il vettore $(4,4,-6,4)$ non appartiene all'immagine.
Non resta che esaminare i casi particolari $k=-1$,$k=1$, $k=3$.
Troverai che le due matrici hanno lo stesso rango solo per $k=3$.
Ciao, scusa se rispondo solo ora. Effettivamente riguardando l'esercizio trovo che effettivamente k=3 è l'unico valore accettabile. Grazie mille dell'aiuto 
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