Immagine dell'applicazione è spazio vettoriale

[EuMil1]

Salve, avrei bisogno di un aiuto in un esercizio.
Quest'ultimo mi chiede di trovare un parametro (t), affinchè l'applicazione lineare:

φ(t) ={φt(e1)= te1-e2+8e3;φt(e2)=5e2;φt(e3)=2e1+e2-te3}

abbia come immagine R^3.
Sinceramente non ho idea di come impostare l'esercizio. Forse può essere utile l'indipendenza delle righe(e/o colonne) della matrice?

Grazie mille in anticipo a chi riesce ad aiutarmi, e scusate se non ho scritto giusto qualcosa, ma è il mio primo post qui.

[LoreT314]

Su direi che la tua intuizione è corretta. Supponendo che l'applicazione sia da $RR^3$ in $RR^3 $(non viene specificato ma è ragionevole pensare che sia così), potresti usare nullità più rango. Se l'immagine è tutto $RR^3$, per nullità più rango segue che il nucleo è nullo, che è equivalente a dire che le colonne della matrice associata all'applicazione sono linearmente indipendenti. Le colonne della matrice sono le immagini della base canonica di $RR^3 $(che ti vengono fornite). Devi solo ora stabilire quando sono indipendenti. Puoi quindi ridurre a scala con gauss e valutare il numero di pivot.