Imf in un endomorfismo
Salve, volevo chiedervi aiuto su un esercizio di Algebra lineare;
Sia $f:RR^3->RR^3$ definita mediante le relazioni:
$f(1,0,0)=(h,0,1)
$f(1,1,1)=(3h,h,h+3)
$f(1,2,1)=(5h-3,2h,2h+2)$ con $h in RR
Studiare $f$ al variare del parametro h determinando in ciascun caso le equazioni che caratterizzano $Imf$ e $Kerf$ e una loro base.
Io ho trovato la matrice associata all'endomorfismo in base canonica, che dovrebbe essere:
$((h,2h-3,h-3),(0,h,0),(1,h-1,-3))
il determinante di tale matrice è $h(4h-3)$ per cui la f è isomorfismo per valori di h diversi da 0 e 3/4.
Andando a studiare il caso particolare $h=0$, per trovare il Ker svolgo il sistema lineare associato a $((0,-3,-3),(0,0,0),(1,-1,-3))((x),(y),(z))=((0),(0),(0))$ da cui ottengo $Kerf = {(2z,-z,z)|z in RR}$ e quindi una base del Ker è data dal vettore $(2,-1.1)$.
Il mio dubbio era adesso per l'Imf , una base di vettori è data dalle prime due colonne della $((0,-3,-3),(0,0,0),(1,-1,-3))$?? E come faccio per trovare l'equazione dell'Imf??
Sia $f:RR^3->RR^3$ definita mediante le relazioni:
$f(1,0,0)=(h,0,1)
$f(1,1,1)=(3h,h,h+3)
$f(1,2,1)=(5h-3,2h,2h+2)$ con $h in RR
Studiare $f$ al variare del parametro h determinando in ciascun caso le equazioni che caratterizzano $Imf$ e $Kerf$ e una loro base.
Io ho trovato la matrice associata all'endomorfismo in base canonica, che dovrebbe essere:
$((h,2h-3,h-3),(0,h,0),(1,h-1,-3))
il determinante di tale matrice è $h(4h-3)$ per cui la f è isomorfismo per valori di h diversi da 0 e 3/4.
Andando a studiare il caso particolare $h=0$, per trovare il Ker svolgo il sistema lineare associato a $((0,-3,-3),(0,0,0),(1,-1,-3))((x),(y),(z))=((0),(0),(0))$ da cui ottengo $Kerf = {(2z,-z,z)|z in RR}$ e quindi una base del Ker è data dal vettore $(2,-1.1)$.
Il mio dubbio era adesso per l'Imf , una base di vettori è data dalle prime due colonne della $((0,-3,-3),(0,0,0),(1,-1,-3))$?? E come faccio per trovare l'equazione dell'Imf??
Risposte
Sei sicuro della matrice associata all'endomorfismo ? A me l'ultima colonna risulta $ 3,0,3 $.
Ciao conferna la segnalazione di Camillo, la terza colonna della matrice associata è (3, 0, 3)
Infatti da (0, 0, 1) = a(1, 0, 0) + b(1, 1, 1) + c(1, 2, 1) risulta a = -1, b = 2, c = -1
Infatti da (0, 0, 1) = a(1, 0, 0) + b(1, 1, 1) + c(1, 2, 1) risulta a = -1, b = 2, c = -1
Avete ragione, chiedo scusa, devo averlo fatto troppo di fretta, f(e3) l'avevo trovato per sottrazione, da f(1,1,1) sottraevo f(e2) + f(e1) ed è giustamente (3,0,3).
Adesso il Ker dovrebbe avere equazione (-2z,z,z), ma per quanto riguarda le basi di Imf e la sua equazione? potete aiutarmi? ho consultato il mio libro di geometria ed ho trovato che come base si deve considerare l'insieme delle combinazioni lineari delle colonne linearmente indipendenti...ma qui essendo lo spazio delle righe =2 devo prendere le prime due colonne?
Adesso il Ker dovrebbe avere equazione (-2z,z,z), ma per quanto riguarda le basi di Imf e la sua equazione? potete aiutarmi? ho consultato il mio libro di geometria ed ho trovato che come base si deve considerare l'insieme delle combinazioni lineari delle colonne linearmente indipendenti...ma qui essendo lo spazio delle righe =2 devo prendere le prime due colonne?
Se $ h=0 $ allora $ker f = ( -2z,z,z) $ e quindi una base è ad esempio $( -2,1,1)$ , ovviamente è $ Dim ker f = 1 $ .
Naturalemnte è $ Dim Im f =2 $ , una base è data dalle prime due colonne della matrice che sono linearmente indipendenti.
Quindi $Im f =<(0,0,1),(-3,0,-1)> $
Naturalemnte è $ Dim Im f =2 $ , una base è data dalle prime due colonne della matrice che sono linearmente indipendenti.
Quindi $Im f =<(0,0,1),(-3,0,-1)> $
Ok, grazie per avermi spiegato il caso h=0, molto chiaro.
Mi è rimasto un unico dubbio, se mi viene chiesto esplicitamente l'equazione dell'Imf? c'è un metodo per trovarla?
Mi è rimasto un unico dubbio, se mi viene chiesto esplicitamente l'equazione dell'Imf? c'è un metodo per trovarla?
"Genryuusai":
se mi viene chiesto esplicitamente l'equazione dell'Imf? c'è un metodo per trovarla?
Ma che cos'è quest' espessione dell' Imf ?? basta scrivere i vettori che compongono l' immagine di f, cos' altro serve??
Credo tu intenda questo per espressione analitica di $Im f $.
Considero una base che è $ (0,0,1),(-3,0,-1) $ .
Il generico vettore appartenente a $Im f $ è del tipo $ alpha(0,0,1)+beta(-3,0,-1)=( -3beta, 0, alpha-beta) $ con $alpha , beta in RR $.
Quindi la prima coordinata è qualunque , la chiamo $ x $ , la seconda è $0$ , la terza ancora qualunque ma diversa dalla prima ; posso allora esprimere così $Im f = ( x,0, z ) $ ; si tratta quindi del piano $xz $ contraddisto dall'equazione $ y=0 $.
Considero una base che è $ (0,0,1),(-3,0,-1) $ .
Il generico vettore appartenente a $Im f $ è del tipo $ alpha(0,0,1)+beta(-3,0,-1)=( -3beta, 0, alpha-beta) $ con $alpha , beta in RR $.
Quindi la prima coordinata è qualunque , la chiamo $ x $ , la seconda è $0$ , la terza ancora qualunque ma diversa dalla prima ; posso allora esprimere così $Im f = ( x,0, z ) $ ; si tratta quindi del piano $xz $ contraddisto dall'equazione $ y=0 $.
Grazie per la risposta; neanche io, a dire la verità, avevo capito se per equazione intendesse l'espressione analitica, ma credo che Camillo abbia ragione. Non ho trovato niente al riguardo nel libro, mentre in alcuni appunti c'era un metodo, non ricordo se applicabile solo alle matrici quadrate, che consisteva nel trasporre la matrice, aggiungergli una colonna generica $((x),(y),(z))$ e calcolarne il determinante
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