Im(f) e Ker(f) di un'applicazione lineare

[Tony961]

Salve ragazzi, data un'applicazione lineare mi sapreste dire i passaggi per determinare Im(f) e Ker(f) e relative basi ? Insomma, intendo in parole povere, come si procede? sono in crisi! vi ringrazio!

[feddy]

ciao tony,

innanzitutto partiamo dalla definizione informale.
Il nucleo è quell'insieme di vettori che, tramite una certa appliacazione lineare $\phi$, vengono mappati nel vettore nullo ($vec(0)$).

La definizione di nucleo è:
Data un'applicazione lineare $ phi: V\mapstoW $ possiamo associare il sottospazio vettoriale seguente:
si definisce $ker\phi={v\inV | \phi(v)=vec(0)}$

All'atto pratico ciò consiste nel risolvere il sistema lineare $Ax=0$, dove $A$ è la matrice associata all'applicazione lineare.
In questo modo determinerai i vettori che vengono mandati in $vec(0)$.

La definizione di immagine è:
Data un'applicazione lineare $ phi: V\mapstoW $ possiamo associare il sottospazio vettoriale seguente:
si definisce $Im\phi={ \phi(v)\inW | v\in V}$

Una base dell'immagine è data dalla colonne dominanti della matrice associata.
Infatti le colonne (dominanti) formano un insieme linearmente indipendente (sapresti dire perché?)

Riducendo a scala una matrice, e dopo aver individuato le colonne dominanti, possiamo estrarre una matrice di rango r pari al numero di colonne, e pertanto sappiamo che la soluzione del sistema lineare $A*vec(x)=vec(0)$ è la soluzione banale $x=vec(0)$. Ricorda ora che se un sistema lineare ha soluzione, chiamiamola $v$, allora $v$ è combinazione lineare delle colonne di $A$.
Pertanto abbiamo che l'unico modo per ottenere il vettore nullo è che tutti i coefficienti sono nulli. Allora le colonne sono linearmente indipendenti

[Tony961]

Quindi in qualsiasi tipo di esercizio, per determinare il nucleo, risolvo il sistema omogeneo associato alla matrice associata all'applicazione, e generalmente mi verranno dei parametri, per determinare una base del nucleo pongo il parametro uguale a 0 ?
Mentre per determinare Im(f), basta che riduco a scalini la matrice associata all'applicazione ( che rappresenta un sistema di generatori per Im(f), e in base al rango scelgo dei vettori che mi determinino la base ? Ad esempio se mi trovo in R^3, e il rango della matrice associata all'applicazione è 2, di questa matrice prendo le due colonne che presentano il pivot, per avere una base di Im(f)?

[feddy]

per determinare il nucleo, risolvo il sistema omogeneo associato alla matrice associata all'applicazione, e generalmente mi verranno dei parametri, per determinare una base del nucleo pongo il parametro uguale a 0 ?

se poni i parametri pari a 0, non otterrai nulla di quello checerchi... per esempio , se hai due parametri liberi, la base sarà data da due vettori linearmente indipendenti, pertanto una volta consideri un parametro pari a 1 e l'altro uguale a 0, mentre la seconda volta viceversa...
un esempio pratico schiarirà le idee:

http://www.matematicamente.it/forum/viewtopic.php?f=37&t=163338&p=8221517#p8221517

Ad esempio se mi trovo in R^3, e il rango della matrice associata all'applicazione è 2, di questa matrice prendo le due colonne che presentano il pivot, per avere una base di Im(f)?

Sì, le colonne dominanti formano una base di $R^{2}$ in questo caso.