Im f e kerf

[Giodivi]

Buonasera
Volevo sapere se è giusto il procedimento che utilizzo per trovare imf e kerf.
Ad esempio, se ho una matrice $((1,2,3),(4,5,6),(7,8,9))$
Per trovare l'immagine devo imporre
f(1,0,0) = (1,4,7)
f(0,1,0) = (2,5,8)
f(0,0,1) = (3,6,9)
Di conseguenza ottengo una matrice che ha come righe le colonne della matrice predente, quindi:
$((1,4,7),(2,5,8),(3,6,9))$

Riduco a scalini e ottengo imf?
Per quanto riguarda kerf invece devo imporre tutte le righe della matrice uguali a zero e risolvere?

Ringrazio anticipatamente

[garnak.olegovitc1]

@Giodivi,
potresti essere più preciso, come è definita l'applicazione lineare?
Saluti

[Giodivi]

"garnak.olegovitc":@Giodivi,
potresti essere più preciso, come è definita l'applicazione lineare?
Saluti

R^3-->R^3 definita da f(x,y,z)=(x+2y+3z, 4x+5y+6z, 7x+8y+9z)

[garnak.olegovitc1]

@Giodivi,

"Giodivi":
R^3-->R^3 definita da f(x,y,z)=(x+2y+3z, 4x+5y+6z, 7x+8y+9z)

bene, per il \( ker(f) \) in questo caso devi valutare $$f(x,y,z)=(x+2y+3z, 4x+5y+6z, 7x+8y+9z)=(0,0,0)$$

"Giodivi":Buonasera
Per trovare l'immagine devo imporre
f(1,0,0) = (1,4,7)
f(0,1,0) = (2,5,8)
f(0,0,1) = (3,6,9)

in base a cosa dici questo? Per valutare \(im(f) \) devi fare alcune considerazioni prima di "imporre"..

Saluti

P.S.=Noto dai messaggi che sei nuovo, impara sin da subito a usare la codifica per le formule matematiche

[Giodivi]

"garnak.olegovitc":@Giodivi,

[quote="Giodivi"]
R^3-->R^3 definita da f(x,y,z)=(x+2y+3z, 4x+5y+6z, 7x+8y+9z)

bene, per il \( ker(f) \) in questo caso devi valutare $$f(x,y,z)=(x+2y+3z, 4x+5y+6z, 7x+8y+9z)=(0,0,0)$$

"Giodivi":Buonasera
Per trovare l'immagine devo imporre
f(1,0,0) = (1,4,7)
f(0,1,0) = (2,5,8)
f(0,0,1) = (3,6,9)

in base a cosa dici questo? Per valutare \(im(f) \) devi fare alcune considerazioni prima di "imporre"..

Saluti


P.S.=Noto dai messaggi che sei nuovo, impara sin da subito a usare la codifica per le formule matematiche[/quote]

Sono un po' confusa :/ nel caso che ho riportato quali sarebbero le considerazioni? Grazie per la pazienza

[garnak.olegovitc1]

@Giodivi,

pardon ieri mi sono confuso guardando "Servizio Pubblico" , cmq sia.. per ipotesi tu hai il seguente omomorfismo: $$f:\mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3 ,f((x,y,z))=(x+2y+3z, 4x+5y+6z, 7x+8y+9z)$$ le immagini della base canonica secondo questo omomorfismo sono quelle che hai scritto tu:

"Giodivi":Buonasera
Per trovare l'immagine devo imporre
\(f(1,0,0) = (1,4,7)\)
\(f(0,1,0) = (2,5,8)\)
\(f(0,0,1) = (3,6,9)\)

ergo, saprai che, \( im(f)=\mathcal{L}\{(f(e_1,),f(e_2),f(e_3))\} \)... poi dipende da cosa vuole di preciso la consegna, vuole le dimensioni, le basi, le cartesiane di \( ker(f) \) e \( im(f) \)??..

Saluti

[Giodivi]

"garnak.olegovitc":@Giodivi,

pardon ieri mi sono confuso guardando "Servizio Pubblico" , cmq sia.. per ipotesi tu hai il seguente omomorfismo: $$f:\mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3 ,f((x,y,z))=(x+2y+3z, 4x+5y+6z, 7x+8y+9z)$$ le immagini della base canonica secondo questo omomorfismo sono quelle che hai scritto tu:

[quote="Giodivi"]Buonasera
Per trovare l'immagine devo imporre
\(f(1,0,0) = (1,4,7)\)
\(f(0,1,0) = (2,5,8)\)
\(f(0,0,1) = (3,6,9)\)

ergo, saprai che, \( im(f)=\mathcal{L}\{(f(e_1,),f(e_2),f(e_3))\} \)... poi dipende da cosa vuole di preciso la consegna, vuole le dimensioni, le basi, le cartesiane di \( ker(f) \) e \( im(f) \)??..

Saluti[/quote]

Ok, grazie. Un ultima cosa \( im(f)=\mathcal{L}\{(f(e_1,),f(e_2),f(e_3))\} \) è valido per ogni applicazione lineare? In pratica, ogni volta che devo trovare l'immagine di una funzione devo studiare la trasposta?

[garnak.olegovitc1]

@Giodivi,

"Giodivi":

Ok, grazie. Un ultima cosa \( im(f)=\mathcal{L}\{(f(e_1,),f(e_2),f(e_3))\} \) è valido per ogni applicazione lineare? In pratica, ogni volta che devo trovare l'immagine di una funzione devo studiare la trasposta?

la trasposta di chi? Potrei azzardare a dirti che dipende dall'applicazione lineare, non devi procedere meccanicamente anche se i metodi posso sembrare gli stessi.. devi cogliere più il motivo del perchè si procede in quel modo
E' vero cmq che \(im(f) \) è generata dalle immagini degli elementi di una base del dominio e si dimostra anche, qui avevo scritto una parte della dimostrazione (se ti vuoi sbizzarrire a continuarla fallo pure )
Saluti

P.S.= in questo caso hai l'immagine di un qualsiasi vettore del dominio ma potresti avere applicazioni lineari con alcune immagini di alcuni vettori del dominio e trovare il nucleo e l'immagine.. etc etc... e le cose sono un pò diverse!