Im f e ker f
Salve a tutti, ho questo endomorfismo
Definito da:
Ho fatto la matrice, il rango è 1. Quindi
dim Im f = 1
dim ker f = 2
Però sto avendo problemi nel definire le loro basi da questo sistema:
Definito da:
Ho fatto la matrice, il rango è 1. Quindi
dim Im f = 1
dim ker f = 2
Però sto avendo problemi nel definire le loro basi da questo sistema:
Risposte
ciao,
se ha ridotto la matrice a scala e il rango è pari a 1, ovviamente, sapendo che la riduzione a scala manda sistemi lineari in altri sistemi lineari equivalenti, hai che il $ker f$ è definito proprio dall'equazione che ottieni riducendo a scala.
La prima e la terza sono uguali, e quindi tramite gauss ti rimane solo la prima.
La seconda e la prima però sono chiaramente linearmente dipendenti, poiché non è altro che la prima equazione moltiplicata per -1, e pertanto può essere eliminata... in questo modo ti resta solo la prima ( e infatt il rango è 1).
Hai dunque il seguente sistema con due parametri liberi e perciò:
$ { ( x= y -z ),( y=xi ),( z=mu ):} $, da cui ricavi che la $dim ker(f)=2$, pertanto, per il th. "nullità più rango", hai che $dim Im(f)= 1$.
Una base del $ker$ può essere : $<(1,1,0),(-1,0,1)>$
se ha ridotto la matrice a scala e il rango è pari a 1, ovviamente, sapendo che la riduzione a scala manda sistemi lineari in altri sistemi lineari equivalenti, hai che il $ker f$ è definito proprio dall'equazione che ottieni riducendo a scala.
La prima e la terza sono uguali, e quindi tramite gauss ti rimane solo la prima.
La seconda e la prima però sono chiaramente linearmente dipendenti, poiché non è altro che la prima equazione moltiplicata per -1, e pertanto può essere eliminata... in questo modo ti resta solo la prima ( e infatt il rango è 1).
Hai dunque il seguente sistema con due parametri liberi e perciò:
$ { ( x= y -z ),( y=xi ),( z=mu ):} $, da cui ricavi che la $dim ker(f)=2$, pertanto, per il th. "nullità più rango", hai che $dim Im(f)= 1$.
Una base del $ker$ può essere : $<(1,1,0),(-1,0,1)>$
Grazie mille!
Solo un'ultima domanda, quindi ( 1, -1, 1 ) è una base di Im f, giusto?
Solo un'ultima domanda, quindi ( 1, -1, 1 ) è una base di Im f, giusto?
Esatto... sapresti perché ?
Sì, perché quella colonna è linearmente indipendente
diciamo che il rango ti fornisce il numero massimo di vettori colonna linearmente indipendente. Ma i vettori colonna sono proprio i candidati ad essere una base del nostro spazio, e pertanto il rango ci informa su quanti di questi sono linearmente indipendenti.
Si tratta dunque di estrarre la base e , avendo notato che $rankf=1$, allora la colonna linearmente indipendente è proprio quella che contiene il pivot !
Si tratta dunque di estrarre la base e , avendo notato che $rankf=1$, allora la colonna linearmente indipendente è proprio quella che contiene il pivot !
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