Im e ker di un applicazione lineare
Salve avrei qualche dubbio su questo esercizio:
Sia $f : R^3 → R^3$ l’endomorfismo tale che
$f (1, 0, 1) = (1, 2, 1), f (1, 1, 0) = (2, 0, 0)$
e $(−1, 1, 1)$ è autovettore rispetto all’autovalore $−2$.
(1) Descrivere $Im(f),Ker(f)$;
(2) scrivere esplicitamente $f$;
(3) dire se $f$ è diagonalizzabile
Allora io mi sono trovato la matrice $A$ associata all'endomorfismo rispetto alla base canonica di $R^3$ risolvendo il sistema:
$\{(f(e_1) + f(e_3) = (1,2,1)),( f(e_1) +f(e_2)= (2,0,0) ),( -f(e_1)+f(e_2)+f(e_3)=(-2,-2,-2) ):}$ ottenendo la matrice
$((5/3, 1/3, -2/3),(4/3, -4/3, 2/3),(1, -1, 0))$ e quindi mi son calcolato il $ker$ attraverso il sistema $A_c*v=(0,0,0), v=(x,y,z)$, la cui soluzione è il vettore nullo di $R^3$
Il $ker$ ha dimensione nulla e quindi $f$ è iniettiva e quindi $"dimImf=3"$ e dunque $Imf-=R^3$. Siccome l'immagine di $f$ allora essa è lo span dei vettori immagine di una base di $R^3$ e quindi, siccome i $3$ vettori iniziali dati formano una base, l'$Imf$ è lo span dei $3$ vettori immagine. L'espressione esplicita di $f$ l'ho ricavata ponendo $f(v)=A_c*v, v=(x,y,z) $. Fin qui pensavo di aver fatto tutto giusto poi quando sono andato a calcolarmi il polinomio caratteristico facendo $det(A_c-\lamdaI_3)$ ho ottenuto che $p(\lamda) = (-1)/3*(3λ^3-λ^2-4λ-4)$ di cui non riesco nemmeno a calcolare le radici. Cosa ho sbagliato? I calcoli li ho ricontrollati più volte e dovrebbero essere corretti perciò suppongo di aver utilizzato un metodo sbagliato per calcolarmi la matrice(anche se fino ad ora aveva funzionato in altri casi). Grazie a chi risponderà
Sia $f : R^3 → R^3$ l’endomorfismo tale che
$f (1, 0, 1) = (1, 2, 1), f (1, 1, 0) = (2, 0, 0)$
e $(−1, 1, 1)$ è autovettore rispetto all’autovalore $−2$.
(1) Descrivere $Im(f),Ker(f)$;
(2) scrivere esplicitamente $f$;
(3) dire se $f$ è diagonalizzabile
Allora io mi sono trovato la matrice $A$ associata all'endomorfismo rispetto alla base canonica di $R^3$ risolvendo il sistema:
$\{(f(e_1) + f(e_3) = (1,2,1)),( f(e_1) +f(e_2)= (2,0,0) ),( -f(e_1)+f(e_2)+f(e_3)=(-2,-2,-2) ):}$ ottenendo la matrice
$((5/3, 1/3, -2/3),(4/3, -4/3, 2/3),(1, -1, 0))$ e quindi mi son calcolato il $ker$ attraverso il sistema $A_c*v=(0,0,0), v=(x,y,z)$, la cui soluzione è il vettore nullo di $R^3$
Il $ker$ ha dimensione nulla e quindi $f$ è iniettiva e quindi $"dimImf=3"$ e dunque $Imf-=R^3$. Siccome l'immagine di $f$ allora essa è lo span dei vettori immagine di una base di $R^3$ e quindi, siccome i $3$ vettori iniziali dati formano una base, l'$Imf$ è lo span dei $3$ vettori immagine. L'espressione esplicita di $f$ l'ho ricavata ponendo $f(v)=A_c*v, v=(x,y,z) $. Fin qui pensavo di aver fatto tutto giusto poi quando sono andato a calcolarmi il polinomio caratteristico facendo $det(A_c-\lamdaI_3)$ ho ottenuto che $p(\lamda) = (-1)/3*(3λ^3-λ^2-4λ-4)$ di cui non riesco nemmeno a calcolare le radici. Cosa ho sbagliato? I calcoli li ho ricontrollati più volte e dovrebbero essere corretti perciò suppongo di aver utilizzato un metodo sbagliato per calcolarmi la matrice(anche se fino ad ora aveva funzionato in altri casi). Grazie a chi risponderà
Risposte
C'è un errore:
\[
f(-1,1,1)=(2,-2,-2).
\]
Riprova.
\[
f(-1,1,1)=(2,-2,-2).
\]
Riprova.
non ci credo. Che tristezza. 1 ora di calcoli buttati al vento. Grazie j18eos se vuoi elimino il messaggio tanto penso che il problema fosse quello
Meglio sbagliare qui che in sede di verifica: tranquillo! 
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