Illuminare una sfera
Quante sorgenti puntiformi occorrono per illuminare una sfera?
Il testo, se ben ricordo, non dava altre indicazioni!
Il testo, se ben ricordo, non dava altre indicazioni!
Risposte
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con due luci (una sopra il nord e una sotto il sud) non illumini mai l'equatore.
Con altre 3 luci a 120° copri l'equatore.
con due luci (una sopra il nord e una sotto il sud) non illumini mai l'equatore.
Con altre 3 luci a 120° copri l'equatore.
Grazie per la soluzione, comunque (probabilmente avrei dovuto specificarlo) mi potresti illustrare il procedimento?
Ho modificato la risposta sopra.
Anzi !
Si può fare anche con 4 !
Con 3 no...
Si può fare anche con 4 !
Con 3 no...
Sto per partorire una sciocchezza, con $2$ sorgenti poste a distanza infinita e in posizione simmetrica rispetto al centro della sfera saranno sufficienti, forse lasciano al buio i punti di una circonferenza!
"weblan":
Sto per partorire una sciocchezza, con $2$ sorgenti poste a distanza infinita e in posizzione simmetrica rispetto al centro della sfera saranno sufficienti, forse lasciano al buio i punti di una circonferenza!
Già ma come dici tu è impossibile illuminarla totalmente con due sole sorgenti.. veramente anche con 4 non me la immagino, rimarrebbero scoperti i due punti di intersezione tra le due "circonferenze buie" lasciate dalle due coppie di sorgenti (messe sui quattro punti cardinali).
A meno che con 1 sorgente si illumini (quasi) mezza sfera, il punto è se con 3 si riesce ad illuminare mezza sfera e una circonferenza..mah!
Dentro la sfera possiamo inscrivere un qualsiasi solido platonico e possiamo proiettare delle rette dal centro passando per i vertici. Ponendo delle lampade lungo queste rette ad adeguata distanza siamo sicuri di poter illuminare la sfera.
Ovviamente prendiamo il più semplice dei solidi, il tetraedro.
I suoi vertici sulla sfera unitaria possono essere disposti nei punti:
$A=(0,0,1)$
$B=((\sqrt8)/(3),0,-1/3)$
$C=(-(\sqrt2)/(3),(\sqrt6)/(3),-1/3)$
$D=(-(\sqrt2)/(3),-(\sqrt6)/(3),-1/3)$
E' interessante definire la minima distanza a cui si possono collocare le lampade.
I punti più difficili da raggiungere saranno le proiezioni dei centri delle facce sulla sfera.
Definiamo dei piani tangenti a uno di questi punti. Per ragioni di simmetria un vettore normale alla faccia $BCD$ è:
$\vec n=(0,0,-1)$
che porta al piano tangente $\pi:\ z=1 $
L'intersezione tra la retta $OB:(((\sqrt8\ t)/(3),0,-t/3))$ e il piano $\pi$ avviene a $t=3$, ovvero le 4 lampade dovranno essere a distanza >3 dal centro.
Ovviamente prendiamo il più semplice dei solidi, il tetraedro.
I suoi vertici sulla sfera unitaria possono essere disposti nei punti:
$A=(0,0,1)$
$B=((\sqrt8)/(3),0,-1/3)$
$C=(-(\sqrt2)/(3),(\sqrt6)/(3),-1/3)$
$D=(-(\sqrt2)/(3),-(\sqrt6)/(3),-1/3)$
E' interessante definire la minima distanza a cui si possono collocare le lampade.
I punti più difficili da raggiungere saranno le proiezioni dei centri delle facce sulla sfera.
Definiamo dei piani tangenti a uno di questi punti. Per ragioni di simmetria un vettore normale alla faccia $BCD$ è:
$\vec n=(0,0,-1)$
che porta al piano tangente $\pi:\ z=1 $
L'intersezione tra la retta $OB:(((\sqrt8\ t)/(3),0,-t/3))$ e il piano $\pi$ avviene a $t=3$, ovvero le 4 lampade dovranno essere a distanza >3 dal centro.
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