Il teorema di Kontsevich-Ghys

[solaàl]

Questo teorema riguarda quaterne \(p_1,p_2,p_3,p_4\) di polinomi a coefficienti reali, considerati come funzioni da \(\mathbb R\) in sé, che si annullano in \(x=0\) e tali che \(p_1(x) < p_2(x) < p_3(x) < p_4(x)\) per tutti gli \(x\in ]u,0]\), con \(u<0\) di modulo sufficientemente piccolo.

Dico che una permutazione \(\sigma \in \text{Sym}(4)\) (il gruppo simmetrico su 4 elementi) è "realizzabile mediante polinomi" se esiste una quaterna \(p_1,\dots,p_4\) come sopra con la proprietà \(p_{\sigma 1}(x) < p_{\sigma 2}(x) < p_{\sigma 3}(x) < p_{\sigma 4}(x)\), per tutti gli \(x\in ]0,v[\), dove \(v >0\) è sufficientemente piccolo.

Detta in modo rupestre, i polinomi si accavallano all'origine e si permutano tra loro, nell'ovvio senso in cui accade a una tupla totalmente ordinata.

Esiste una dimostrazione, scritta su un biglietto usato della metro B, che non tutte le permutazioni di \(\text{Sym}(4)\) sono realizzabili mediante polinomi: quante non lo sono?

Che succede per terne di polinomi, definite allo stesso modo? Che succede per generiche \(n\)-uple?

[marco2132k]

È un esercizio che stai proponendo? o è una tua domanda?

[solaàl]

Che differenza fa? Comunque è un teorema con un nome, take a hint