Il rango di una matrice è uguale al rango della sua trasposta
Buongiorno ragazzi,
Una delle proprietà delle matrici trasposte è che hanno lo stesso rango della matrice "di partenza":
Ovvero: $rho(A)=rho(A^t)$.
A livello "teorico" questa cosa è semplice poichè, dalla definizione di rango:
"Sia A una matrice, è detto rango della matrice A ($rho(A)$)il numero massimo delle colonne linearmente indipendenti. Si dimostra che il numero massimo delle colonne coincide con il numero massimo delle righe linearmente indipendenti di A"
E dalla definizione di matrice trasposta:
"Sia A una matrice, si definisce matrice trasposta di A la matrice ottenuta scambiando le righe con le colonne e viceversa"
Ma, come faccio a dimostrare che $rho(A)=rho(A^t)$?
Grazie
Una delle proprietà delle matrici trasposte è che hanno lo stesso rango della matrice "di partenza":
Ovvero: $rho(A)=rho(A^t)$.
A livello "teorico" questa cosa è semplice poichè, dalla definizione di rango:
"Sia A una matrice, è detto rango della matrice A ($rho(A)$)il numero massimo delle colonne linearmente indipendenti. Si dimostra che il numero massimo delle colonne coincide con il numero massimo delle righe linearmente indipendenti di A"
E dalla definizione di matrice trasposta:
"Sia A una matrice, si definisce matrice trasposta di A la matrice ottenuta scambiando le righe con le colonne e viceversa"
Ma, come faccio a dimostrare che $rho(A)=rho(A^t)$?
Grazie
Risposte
Scrivi le matrici $A$ e $A^T$ separatamente; le riduci con Gauss (sempre separatamente) e ti accorgerai che il numero di "pivot" della matrice $A'$ ridotta di $A$ è lo stesso di quello della matrice ridotta $A^T'$ di $A^T$
Sisi, no dico, a livello di dimostrazione teorica, si può fare?
Non ho una dimostrazione precisa... però se consideri che il rango è il max numero di righe (colonne) linearm. indipendenti e che la trasposta è la matrice che inverte righe e colonne allora se il numero di righe linearm indipend di A è il rango r allora questo coincide con il numero di colonne linearm indipend di A trasposta poichè di fatto le righe e le colonne considerate sono la stessa cosa.
Ti ringrazio , vediamo che riesco a combinare 
, vediamo che riesco a combinare
Guarda qui: https://books.google.it/books?id=OWkCDQ ... +generalità&source=bl&ots=x6IaQx7SYg&sig=QCgPs3piTDJIpmgGn9vZhkbqb9E&hl=it&sa=X&ved=0ahUKEwjV9oeh-ZLSAhXKPZoKHUkvC-YQ6AEIGjAA#v=onepage&q=si%20puo%20supporre%2C%20senza%20perdere%20in%20generalit%C3%A0&f=false
Pag 94/95
Pag 94/95
Ciao a tutti, a distanza di 5 anni mi è servita la risposta a questa domanda. Segnalo che una risposta molto precisa e formale viene data nel testo: Algebra lineare e geometria - Enrico Schlesinger a p.207-208 (seconda edizione).
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