Il misterioso metodo dello scalino..

[login2]

Ma voi avete mai sentito parlare del metodo dello scalino?

Servirebbe ad individuare (in modo veloce credo) se 3 vettori sono tra loro linearmente indipendenti...

Inoltre potrebbe essere collegato al fatto che se su questi 3 vettori applico 3 operazioni elementari la loro indipendenza non cambia..

Ora io ho perso una lezione e chiaramene sto scalino non sta scritto a nessuna parte...qualcuno ne ha sentito parlare oppure sa vagamente quali sono i metodi per dimostrare se 3 vettori sono linearmente indipendenti..

[IlRosso1]

Forse intendi la riduzione a scalini di una matrice?

[vict85]

Il principio è il seguente:

Sia \(\displaystyle \mathcal{B}_{\mathrm{std}} \) la base standard di \(\displaystyle \mathbb{R}^n \). Se \(\displaystyle \mathcal{V} \) è il nostro insieme di \(\displaystyle m Questa applicazione lineare è un isomorfismo se \(\displaystyle \bigr(\mathcal{V}, \mathcal{U} \bigl) \) è linearmente indipendente, cioé se lo è \(\displaystyle \mathcal{V} \). D'altra parte l'applicazione lineare è un omomorfismo se la matrice associata a questa applicazione lineare è invertibile. Questo si riduce a dimostrare che la matrice formata dai vettori di \(\displaystyle \mathcal{V} \) ha rango massimo. Il metodo degli scalini è semplicemente questo.

[login2]

"IlRosso":Forse intendi la riduzione a scalini di una matrice?

Forse si..
Il problema è che si dovrebbe riferire all'indipendenza lineare di tre vettori ma non so se altrove lo chiamano in altor modo..

[login2]

"vict85":Il principio è il seguente:

Sia \(\displaystyle \mathcal{B}_{\mathrm{std}} \) la base standard di \(\displaystyle \mathbb{R}^n \). Se \(\displaystyle \mathcal{V} \) è il nostro insieme di \(\displaystyle m Questa applicazione lineare è un isomorfismo se \(\displaystyle \bigr(\mathcal{V}, \mathcal{U} \bigl) \) è linearmente indipendente, cioé se lo è \(\displaystyle \mathcal{V} \). D'altra parte l'applicazione lineare è un omomorfismo se la matrice associata a questa applicazione lineare è invertibile. Questo si riduce a dimostrare che la matrice formata dai vettori di \(\displaystyle \mathcal{V} \) ha rango massimo. Il metodo degli scalini è semplicemente questo.

Non abbiamo fatto ancora isomorfismi e nemmeno le matrici e nemmeno le applicazioni lineari..il metodo degli scalini dovrebbe essere propedeutico ( o se non altro utile) per le matrici ma dovrei essere in grado di sapere cosìè e come applicarlo pure senza sapere cos'è una matrice..

E sopratutto come si fa a dire che 3 vettori sono tra loro linearmente indipendenti con il metodo dello scalino? (Se ne conoscete altri va bene uguale.. )

[ciampax]

Metodo dello scalino = riduzione per righe di Gauss di una matrice.

In pratica, se vuoi verificare se dei vettori sono tra loro linearmente indipendenti, scrivi le loro corrdinate in una matrice (ogni riga un vettore) e riduci questa matrice con l'eliminazione di Guass in forma triangolare superiore (o a scalini). Se alla fine non ottieni nessuna riga di soli zeri, i vettori sono linearmente indipendenti. Se invece hai un certo numero di righe fatte di soli zeri, quello ti dice quanti vettori sono indipendenti nell'insieme scelto. In pratica se hai $n$ vettori e $m$ righe di zeri, il numero di vettori indipendenti è $n-m$ (e definisce il rango della matrice).

[login2]

Ma che significa in forma triangolare superiore? L'eliminazione di Gauss è una cosa facile? Come si fa?
Per esempio se io ho questi 3 vettori
$v_1=(1,0,2) v_2=(0,5,-3) v_3=(3,8,7)$ (Inventati a caso sul momento) in $R^3$

E voglio stabilire se sono linearmente indipendenti come devo fare?
Li metto in una matrice giusto? quindi
$[[1,0,2],[0,5,-3],[3,8,7]]$ e poi che faccio? :S

E nel caso fossero davvero linearmente indipendenti sarebbe sufficiente per dire che costituiscono una base di $R^3$ oppure c'è bisogno di dimostrare che sono generatori?

[vict85]

"login":il metodo degli scalini dovrebbe essere propedeutico ( o se non altro utile) per le matrici ma dovrei essere in grado di sapere cosìè e come applicarlo pure senza sapere cos'è una matrice..

La mia era la descrizione teorica-astratta del perché bisogna cercare il rango di quella particolare matrice. Tutta la teoria dell'algebra lineare può essere fatta senza matrici ma non è né troppo utile farlo né particolarmente intuitivo. D'altra parte fare tutta la parte delle matrici senza spiegare del perché funziona mi sembra assurdo.

Riguardo al metodo degli scalini è semplicemente un metodo per calcolare il rango di una matrice sfruttando le stesse operzioni del metodo di Gauss per risolvere i sistemi lineari.

[login2]

ok dopo un duro pomeriggio di googlare ho trovato alla fine su wikipedia che quello che cercavo non era altro che l'algoritmo di Gauss come tu hai detto vict85, ho imparato come fare ma quello che mi sfugge è il perchè se io applico questo famigerato algoritmo a quel sistema di vettori non solo dimostro che sono linearmente indipendenti ma estraggo pure una base..oppure dico che è una base.. insomma in base a che? tutte le matrici sono trasformabili con Gauss Jordan, allora come faccio a dire con Gauss Jordan che quel sistema è linearmente indipendente?

[login2]

Allora la matrice A ridotta a scalini $[[-1,-2,1],[0,1,-1],[0,0,2]]$ la matrice B ridotta a scalini $[[-2,-4,2],[0,0,0],[0,0,0]]$

Noto che la matrice A ha i pivot mentre la matrice B ottengo prima una sola riga di 000 e poi riducendo ancora due righe di 000
se presumo che ogni linea rappresenti un vettore ho ottenuto il vettore nullo, che è sempre linearmente dipendente, dunque se è contenuto in un sistema di vettori anche questi sono linearmente dipendenti giusto?

Quindi alla fine se riduco un sistema di vettori a uno equivalente ( applicando alcune operazioni elementari che non influiscono sulla dipendenza o indipendenza lineare) e trovo che in questo sistema di vettori equivalenti c'è un vettore nullo essi sono linearmente dipendenti! Se invece viene a scalini allora è linearmente indipendente

[login2]

Credo di aver capito...
grazie..