Il flusso come integrale di una forma differenziale
Sia \( S\subset \mathbb R^3 \) una superficie orientata. Sia \( \gamma\colon V\to \mathbb R^3 \) una parametrizzazione locale di \( S \) definita su un aperto di \( \mathbb R^2 \). Sia \( \vec G \) un campo vettoriale definito su \( \mathbb R^3 \) o perlomeno lungo \( S \), e facciamo per semplicità che \( \operatorname{supp}\vec G\subset \gamma(V) \).
La quantità
\[
\Phi_S(\vec G) = \int_V{\overbrace{\left\langle \vec G(\gamma(q)),\underbrace{\frac{\partial\gamma}{\partial q^1}(q)\times\frac{\partial\gamma}{\partial q^2}(q)}_{\text{vettore normale uscente da \( S \)}}\right\rangle}^\text{componente di \( \vec G \) normale a \( S \)}}\,\lambda^2(\mathrm dq)\label{flusso}\tag{\( * \)}
\] dove \( q = (q^1,q^2) \) è la variabile su \( V \) e \( \lambda^2 \) è la misura di Lebesgue in dimensione \( 2 \) è detta il flusso di \( \vec G \) lungo \( S \).
Chiaramente, \( \Phi_S(\vec G) \) ha senso anche se \( S \) è un'ipersuperficie orientata di una varietà orientata Riemanniana \( (M,g) \) di dimensione arbitraria \( n \) e \( \vec G \) è un campo di vettori su \( M \). Si verifica più o meno facilmente che porre
\[
\Phi_S(\vec G) = \int_S\iota^*(\star\,(\vec G^\flat)) = \int_S\iota^*(\vec G\mathop{\lrcorner}\omega_g)\label{forme}\tag{\( ** \)}
\] dove \( \iota\colon S\hookrightarrow M \) è l'inclusione canonica e \( \omega_g \) è il volume riemanniano di \( M \) è coerente con quanto detto sopra quando \( M = \mathbb R^3 \) e \( g \) è la metrica piatta. Qui \( \vec G^\flat \) è l'\( 1 \)-forma indotta da \( \vec G \) "abbassando gli indici" e \( \star \) è la stella di Hodge.
Quello che mi stavo chiedevo è questo. Al di là della dimostrazione bruteforce di questo fatto[nota]Che passa dall'osservare che in coordinate
\[
\left\langle\vec G(\gamma(q)),\frac{\partial\gamma}{\partial q^1}(q)\times\frac{\partial\gamma}{\partial q^2}(q)\right\rangle =
\begin{vmatrix}
G^1(\gamma(q)) & \frac{\partial\gamma^1}{\partial q^1}(q) & \frac{\partial\gamma^1}{\partial q^2}(q)\\
G^2(\gamma(q)) & \frac{\partial\gamma^2}{\partial q^1}(q) & \frac{\partial\gamma^2}{\partial q^2}(q)\\
G^2(\gamma(q)) & \frac{\partial\gamma^3}{\partial q^1}(q) & \frac{\partial\gamma^3}{\partial q^2}(q)
\end{vmatrix}
\] e in definitiva
\[
\gamma^*\iota^*(\vec G\mathop{\lrcorner}\omega_g) = \left\langle\vec G(\gamma(q)),\frac{\partial\gamma}{\partial q^1}(q)\times\frac{\partial\gamma}{\partial q^2}(q)\right\rangle\, f^1\wedge\dots\wedge f^{n - 1}
\]al variare di \( q\in V \), dove \( \{f_1,\dots,f_n\} \) è il frame field canonico su \( V \).[/nota], c'è un modo più intrinseco, più strutturale di far saltare fuori l'integranda di \(\eqref{flusso}\)?
Ad esempio, io so che
\[
\iota^*(\vec G\mathop{\lrcorner}\omega_g) = \langle\vec G,\hat N\rangle\,\eta_g
\] e in definitiva
\[
\int_S\iota^*(\vec G\mathop{\lrcorner}\omega_g) = \int_S\langle\vec G,\hat N\rangle\,\eta_g\,\text{,}
\]
dove \( \hat N \) è il campo di vettori normali uscenti da \( S \) e \( \eta_g \) è il volume riemanniano di \( S \) rispetto alla metrica pullback \( \iota^*g \). RHS è già qualcosa di più simile a \( \eqref{flusso} \) per dire, ma non riesco a trovare una dimostrazione diretta "geometricamente evidente" del fatto che
\[
\gamma^*\langle\vec G,\hat N\rangle\,\eta_g = \left\langle\vec G(\gamma(q)),\frac{\partial\gamma}{\partial q^1}(q)\times\frac{\partial\gamma}{\partial q^2}(q)\right\rangle\, f^1\wedge\dots\wedge f^{n - 1}
\] perché ad esempio non sono mica convinto del fatto che
\[
\hat N = \frac{\partial\gamma}{\partial q^1}(q)\times\frac{\partial\gamma}{\partial q^2}(q)\text{.}
\]
Che succederebbe ad esempio se \( n = 4 \)? Come calcolo \( \hat N \) partendo dalla parametrizzazione \( \gamma \)? Certo non faccio il prodotto vettoriale (perché non c'è). Sarà una qualche combinazione di stella di Hodge con l'iso tra forme e vettori indotto dalla metrica, ma non riesco a capire quale.
La quantità
\[
\Phi_S(\vec G) = \int_V{\overbrace{\left\langle \vec G(\gamma(q)),\underbrace{\frac{\partial\gamma}{\partial q^1}(q)\times\frac{\partial\gamma}{\partial q^2}(q)}_{\text{vettore normale uscente da \( S \)}}\right\rangle}^\text{componente di \( \vec G \) normale a \( S \)}}\,\lambda^2(\mathrm dq)\label{flusso}\tag{\( * \)}
\] dove \( q = (q^1,q^2) \) è la variabile su \( V \) e \( \lambda^2 \) è la misura di Lebesgue in dimensione \( 2 \) è detta il flusso di \( \vec G \) lungo \( S \).
Chiaramente, \( \Phi_S(\vec G) \) ha senso anche se \( S \) è un'ipersuperficie orientata di una varietà orientata Riemanniana \( (M,g) \) di dimensione arbitraria \( n \) e \( \vec G \) è un campo di vettori su \( M \). Si verifica più o meno facilmente che porre
\[
\Phi_S(\vec G) = \int_S\iota^*(\star\,(\vec G^\flat)) = \int_S\iota^*(\vec G\mathop{\lrcorner}\omega_g)\label{forme}\tag{\( ** \)}
\] dove \( \iota\colon S\hookrightarrow M \) è l'inclusione canonica e \( \omega_g \) è il volume riemanniano di \( M \) è coerente con quanto detto sopra quando \( M = \mathbb R^3 \) e \( g \) è la metrica piatta. Qui \( \vec G^\flat \) è l'\( 1 \)-forma indotta da \( \vec G \) "abbassando gli indici" e \( \star \) è la stella di Hodge.
Quello che mi stavo chiedevo è questo. Al di là della dimostrazione bruteforce di questo fatto[nota]Che passa dall'osservare che in coordinate
\[
\left\langle\vec G(\gamma(q)),\frac{\partial\gamma}{\partial q^1}(q)\times\frac{\partial\gamma}{\partial q^2}(q)\right\rangle =
\begin{vmatrix}
G^1(\gamma(q)) & \frac{\partial\gamma^1}{\partial q^1}(q) & \frac{\partial\gamma^1}{\partial q^2}(q)\\
G^2(\gamma(q)) & \frac{\partial\gamma^2}{\partial q^1}(q) & \frac{\partial\gamma^2}{\partial q^2}(q)\\
G^2(\gamma(q)) & \frac{\partial\gamma^3}{\partial q^1}(q) & \frac{\partial\gamma^3}{\partial q^2}(q)
\end{vmatrix}
\] e in definitiva
\[
\gamma^*\iota^*(\vec G\mathop{\lrcorner}\omega_g) = \left\langle\vec G(\gamma(q)),\frac{\partial\gamma}{\partial q^1}(q)\times\frac{\partial\gamma}{\partial q^2}(q)\right\rangle\, f^1\wedge\dots\wedge f^{n - 1}
\]al variare di \( q\in V \), dove \( \{f_1,\dots,f_n\} \) è il frame field canonico su \( V \).[/nota], c'è un modo più intrinseco, più strutturale di far saltare fuori l'integranda di \(\eqref{flusso}\)?
Ad esempio, io so che
\[
\iota^*(\vec G\mathop{\lrcorner}\omega_g) = \langle\vec G,\hat N\rangle\,\eta_g
\] e in definitiva
\[
\int_S\iota^*(\vec G\mathop{\lrcorner}\omega_g) = \int_S\langle\vec G,\hat N\rangle\,\eta_g\,\text{,}
\]
dove \( \hat N \) è il campo di vettori normali uscenti da \( S \) e \( \eta_g \) è il volume riemanniano di \( S \) rispetto alla metrica pullback \( \iota^*g \). RHS è già qualcosa di più simile a \( \eqref{flusso} \) per dire, ma non riesco a trovare una dimostrazione diretta "geometricamente evidente" del fatto che
\[
\gamma^*\langle\vec G,\hat N\rangle\,\eta_g = \left\langle\vec G(\gamma(q)),\frac{\partial\gamma}{\partial q^1}(q)\times\frac{\partial\gamma}{\partial q^2}(q)\right\rangle\, f^1\wedge\dots\wedge f^{n - 1}
\] perché ad esempio non sono mica convinto del fatto che
\[
\hat N = \frac{\partial\gamma}{\partial q^1}(q)\times\frac{\partial\gamma}{\partial q^2}(q)\text{.}
\]
Che succederebbe ad esempio se \( n = 4 \)? Come calcolo \( \hat N \) partendo dalla parametrizzazione \( \gamma \)? Certo non faccio il prodotto vettoriale (perché non c'è). Sarà una qualche combinazione di stella di Hodge con l'iso tra forme e vettori indotto dalla metrica, ma non riesco a capire quale.
Risposte
E' per ringraziarmi di ieri?
1. Ocio che hai scritto un paio di volte \(\frac{\partial\gamma}{\partial q^1}(q)\times\frac{\partial\gamma}{\partial q^1}(q)\) invece di \(\frac{\partial\gamma}{\partial q^1}(q)\times\frac{\partial\gamma}{\partial q^2}(q)\).
2. Mi sembra l'abbia già detto tu di nascosto: la star di \(\frac{\partial\gamma}{\partial q^1}(q)\land\dots\land\frac{\partial\gamma}{\partial q^{n-1}}(q)\) è un vettore, userai quello.
1. Ocio che hai scritto un paio di volte \(\frac{\partial\gamma}{\partial q^1}(q)\times\frac{\partial\gamma}{\partial q^1}(q)\) invece di \(\frac{\partial\gamma}{\partial q^1}(q)\times\frac{\partial\gamma}{\partial q^2}(q)\).
2. Mi sembra l'abbia già detto tu di nascosto: la star di \(\frac{\partial\gamma}{\partial q^1}(q)\land\dots\land\frac{\partial\gamma}{\partial q^{n-1}}(q)\) è un vettore, userai quello.
Non so se sia la stessa cosa e di 'ste robe ricordo meno del rapsodo più povero, ma
Prendi la $(n-1)$-forma volume sulla ipersuperfizia $S$, \(\omega^S\).
Prendi la stella \(\star\omega^S\), questa è una 1-forma ossia il duale di un campo che più o meno per costruzione ha il significato di "normale a $S$" e che puoi \(\langle-,-\rangle\)are contro $G$.
Sarà la stessa cosa che ho scritto prima, penso...
Prendi la $(n-1)$-forma volume sulla ipersuperfizia $S$, \(\omega^S\).
Prendi la stella \(\star\omega^S\), questa è una 1-forma ossia il duale di un campo che più o meno per costruzione ha il significato di "normale a $S$" e che puoi \(\langle-,-\rangle\)are contro $G$.
Sarà la stessa cosa che ho scritto prima, penso...
Rispondo solo a questo. Al resto rispondo dopo.
\[
\star\omega^S = \star(\hat N\mathop{\lrcorner}\omega^M) = \star\star(\hat N^\flat) = {\color{red}(-1)^{n - 1}}\hat N
\]
dove ocio che
\[
\omega^S = \hat N\mathop{\lrcorner}\omega^M
\] è una \( n - 1 \)-forma su \( M \).
"megas_archon":Prende un segno:
Prendi la $ (n-1) $-forma volume sulla ipersuperfizia $ S $, \( \omega^S \).
Prendi la stella \( \star\omega^S \), questa è una 1-forma ossia il duale di un campo che più o meno per costruzione ha il significato di "normale a $ S $" e che puoi \( \langle-,-\rangle \)are contro $ G $.
\[
\star\omega^S = \star(\hat N\mathop{\lrcorner}\omega^M) = \star\star(\hat N^\flat) = {\color{red}(-1)^{n - 1}}\hat N
\]
dove ocio che
\[
\omega^S = \hat N\mathop{\lrcorner}\omega^M
\] è una \( n - 1 \)-forma su \( M \).
Non so fare questo conto ovviamente, sto solo rispondendo a buon senso
M-maybe if I pretend to know diffgeom kōhai will notice me
Credo che il punto sia questo.
L'integranda di \( (*) \) si può scrivere come
\[
\left\langle\vec G(\gamma(q)),\frac{\partial\gamma}{\partial q^1}(q)\times \frac{\partial\gamma}{\partial q^2}(q)\right\rangle = \left\langle\vec G(\gamma(q)),\hat N(\gamma(q))\right\rangle \left\lVert \frac{\partial\gamma}{\partial q^1}(q)\times \frac{\partial\gamma}{\partial q^2}(q)\right\rVert\label{considerazione}\tag{\( *** \)}
\] dove \( \hat N \) è il campo di vettori unitari normali uscenti da \( S \) e la norma a RHS è la norma su \( \bigwedge\nolimits^2\mathrm T_{\gamma(q)}\mathbb R^3 \) indotta dalla metrica piatta. Ovviamente bisognerebbe verificare che
\[
\hat N(\gamma(q)) = \frac{\frac{\partial\gamma}{\partial q^1}(q)\times \frac{\partial\gamma}{\partial q^2}(q)}{\left\lVert \frac{\partial\gamma}{\partial q^1}(q)\times \frac{\partial\gamma}{\partial q^2}(q)\right\rVert}
\] al variare di \( q\in V \), ma per ora fidiamoci.
Come ho detto sopra un altro modo per calcolare \( \Phi_S(\vec G) \) (quando \( S \) è una sottovarietà "astratta" di una varietà Riemanniana, oppure quando \( S \) è embeddata in \( M = \mathbb R^3 \)) è fare
\[
\Phi_S(\vec G) = \int_S\langle \vec G,\hat N\rangle\, \eta_g
\] dove \( \eta_g \) è l'elemento di superficie riemanniano di \( S \) indotto dalla metrica pullback \( \iota^*g \). Fissata la parametrizzazione solita (e calcolati i pullback) viene allora che
\[
\Phi_S(\vec G) = \int_V\underbrace{\left\langle\vec G(\gamma(q)),\hat N(\gamma(q))\right\rangle}_{\text{componente di \( \vec G \) normale a \(S\)}} \underbrace{\left\langle \eta_g\Bigr\rvert_{\gamma(q)},\frac{\partial\gamma}{\partial q^1}(q)\wedge \frac{\partial\gamma}{\partial q^2}(q)\right\rangle_{\mathrm{ev}}}_{\substack{\text{area del parallelogramma}\\\text{generato da \( \frac{\partial\gamma}{\partial q^1}(q) \) e \( \frac{\partial\gamma}{\partial q^2}(q) \) (?)}}}\,\lambda^2(\mathrm dq)
\] dove scrivo
\[
\langle \alpha,v_1\wedge\dots\wedge v_k\rangle_{\mathrm{ev}}
\] per indicare l'applicazione di una \( k \)-forma \( \alpha \) a \( k \) vettori tangenti \( v_1,\dots,v_k \).
Rimane dunque da capire (se è vero) perché
\[
\left\langle \overbrace{\bigl(\hat N\mathop{\lrcorner}\omega_g\bigr)\Bigr\rvert_{\gamma(q)}}^{\text{oppure \( \eta_g\Bigr\rvert_{\gamma(q)}\)}},\frac{\partial\gamma}{\partial q^1}(q)\wedge \frac{\partial\gamma}{\partial q^2}(q)\right\rangle_{\mathrm{ev}} = \Biggl\lVert\frac{\partial\gamma}{\partial q^1}(q)\times \frac{\partial\gamma}{\partial q^2}(q)\Biggr\rVert
\] al variare di \( q\in V \), e ovviamente ciò dev'essere possibile senza fare conti.
Io inquadrerei la situazione in un contesto più generale. Mi chiederei cioè se è vero che
\[
\left\langle \omega,v_1\wedge\dots\wedge v_D\right\rangle = \lVert v_1\wedge\dots\wedge v_D\rVert
\] per \( D \) vettori di uno spazio vettoriale \( D \)-dimensionale orientato equipaggiato con un prodotto scalare e con una forma di volume \( \omega \).
Adesso però è ora della nanna, ché domani c'è qualcun altro ad aver bisogno di un mio boost di dopamina.
L'integranda di \( (*) \) si può scrivere come
\[
\left\langle\vec G(\gamma(q)),\frac{\partial\gamma}{\partial q^1}(q)\times \frac{\partial\gamma}{\partial q^2}(q)\right\rangle = \left\langle\vec G(\gamma(q)),\hat N(\gamma(q))\right\rangle \left\lVert \frac{\partial\gamma}{\partial q^1}(q)\times \frac{\partial\gamma}{\partial q^2}(q)\right\rVert\label{considerazione}\tag{\( *** \)}
\] dove \( \hat N \) è il campo di vettori unitari normali uscenti da \( S \) e la norma a RHS è la norma su \( \bigwedge\nolimits^2\mathrm T_{\gamma(q)}\mathbb R^3 \) indotta dalla metrica piatta. Ovviamente bisognerebbe verificare che
\[
\hat N(\gamma(q)) = \frac{\frac{\partial\gamma}{\partial q^1}(q)\times \frac{\partial\gamma}{\partial q^2}(q)}{\left\lVert \frac{\partial\gamma}{\partial q^1}(q)\times \frac{\partial\gamma}{\partial q^2}(q)\right\rVert}
\] al variare di \( q\in V \), ma per ora fidiamoci.
Come ho detto sopra un altro modo per calcolare \( \Phi_S(\vec G) \) (quando \( S \) è una sottovarietà "astratta" di una varietà Riemanniana, oppure quando \( S \) è embeddata in \( M = \mathbb R^3 \)) è fare
\[
\Phi_S(\vec G) = \int_S\langle \vec G,\hat N\rangle\, \eta_g
\] dove \( \eta_g \) è l'elemento di superficie riemanniano di \( S \) indotto dalla metrica pullback \( \iota^*g \). Fissata la parametrizzazione solita (e calcolati i pullback) viene allora che
\[
\Phi_S(\vec G) = \int_V\underbrace{\left\langle\vec G(\gamma(q)),\hat N(\gamma(q))\right\rangle}_{\text{componente di \( \vec G \) normale a \(S\)}} \underbrace{\left\langle \eta_g\Bigr\rvert_{\gamma(q)},\frac{\partial\gamma}{\partial q^1}(q)\wedge \frac{\partial\gamma}{\partial q^2}(q)\right\rangle_{\mathrm{ev}}}_{\substack{\text{area del parallelogramma}\\\text{generato da \( \frac{\partial\gamma}{\partial q^1}(q) \) e \( \frac{\partial\gamma}{\partial q^2}(q) \) (?)}}}\,\lambda^2(\mathrm dq)
\] dove scrivo
\[
\langle \alpha,v_1\wedge\dots\wedge v_k\rangle_{\mathrm{ev}}
\] per indicare l'applicazione di una \( k \)-forma \( \alpha \) a \( k \) vettori tangenti \( v_1,\dots,v_k \).
Rimane dunque da capire (se è vero) perché
\[
\left\langle \overbrace{\bigl(\hat N\mathop{\lrcorner}\omega_g\bigr)\Bigr\rvert_{\gamma(q)}}^{\text{oppure \( \eta_g\Bigr\rvert_{\gamma(q)}\)}},\frac{\partial\gamma}{\partial q^1}(q)\wedge \frac{\partial\gamma}{\partial q^2}(q)\right\rangle_{\mathrm{ev}} = \Biggl\lVert\frac{\partial\gamma}{\partial q^1}(q)\times \frac{\partial\gamma}{\partial q^2}(q)\Biggr\rVert
\] al variare di \( q\in V \), e ovviamente ciò dev'essere possibile senza fare conti.
Io inquadrerei la situazione in un contesto più generale. Mi chiederei cioè se è vero che
\[
\left\langle \omega,v_1\wedge\dots\wedge v_D\right\rangle = \lVert v_1\wedge\dots\wedge v_D\rVert
\] per \( D \) vettori di uno spazio vettoriale \( D \)-dimensionale orientato equipaggiato con un prodotto scalare e con una forma di volume \( \omega \).
Adesso però è ora della nanna, ché domani c'è qualcun altro ad aver bisogno di un mio boost di dopamina.
Mi rimane da dire che se quello che ho scritto sopra ha senso allora salta fuori una bella generalizzazione di \( (*) \). Infatti assumendo che
\[
\left\lVert\frac{\partial\gamma}{\partial q^1}(q)\wedge \frac{\partial\gamma}{\partial q^2}(q)\right\rVert = \left\lVert\frac{\partial\gamma}{\partial q^1}(q)\times \frac{\partial\gamma}{\partial q^2}(q)\right\rVert
\] anche se di fatto devo ancora capire come dimostrarlo, dovremmo avere che
\[
\Phi_S(\vec G) = \int_V\underbrace{\left\langle\vec G(\gamma(q)),\hat N(\gamma(q))\right\rangle}_{\text{componente di \( \vec G \) normale a \(S\)}} \underbrace{\left\lVert\frac{\partial\gamma}{\partial q^1}(p)\wedge \frac{\partial\gamma}{\partial q^2}(p)\right\rVert}_{\substack{\text{area del parallelogramma}\\\text{generato da \( \frac{\partial\gamma}{\partial q^1}(q) \) e \(\frac{\partial\gamma}{\partial q^2}(q) \)}}}\,\lambda^2(\mathrm dq)
\] in dimensione \( n = 3 \) e
\[
\Phi_S(\vec G) = \int_V\underbrace{\left\langle\vec G(\gamma(q)),\hat N(\gamma(q))\right\rangle}_{\text{componente di \( \vec G \) normale a \(S\)}} \underbrace{\left\lVert\frac{\partial\gamma}{\partial q^1}(p)\wedge\dots\wedge \frac{\partial\gamma}{\partial q^{n - 1}}(p)\right\rVert}_{\substack{\text{misura dell'\((n-1)\)-edro}\\\text{generato da \( \frac{\partial\gamma}{\partial q^1}(q),\dots,\frac{\partial\gamma}{\partial q^{n - 1}}(q) \)}}}\,\lambda^{n - 1}(\mathrm dq)
\] in dimensione \( n \) generica.
Ma c'è di più: nelle formule scritte qui sopra non c'è niente che faccia riferimento alla struttura di \( (\mathbb R^n,\delta) \) (cioè di \( \mathbb R^n \) con la metrica piatta). In altre parole tutto ciò vale per una sottovarietà orientata di codimensione \( 1 \) di una qualsiasi varietà riemanniana (orientata una e orientata l'altra).
\[
\left\lVert\frac{\partial\gamma}{\partial q^1}(q)\wedge \frac{\partial\gamma}{\partial q^2}(q)\right\rVert = \left\lVert\frac{\partial\gamma}{\partial q^1}(q)\times \frac{\partial\gamma}{\partial q^2}(q)\right\rVert
\] anche se di fatto devo ancora capire come dimostrarlo, dovremmo avere che
\[
\Phi_S(\vec G) = \int_V\underbrace{\left\langle\vec G(\gamma(q)),\hat N(\gamma(q))\right\rangle}_{\text{componente di \( \vec G \) normale a \(S\)}} \underbrace{\left\lVert\frac{\partial\gamma}{\partial q^1}(p)\wedge \frac{\partial\gamma}{\partial q^2}(p)\right\rVert}_{\substack{\text{area del parallelogramma}\\\text{generato da \( \frac{\partial\gamma}{\partial q^1}(q) \) e \(\frac{\partial\gamma}{\partial q^2}(q) \)}}}\,\lambda^2(\mathrm dq)
\] in dimensione \( n = 3 \) e
\[
\Phi_S(\vec G) = \int_V\underbrace{\left\langle\vec G(\gamma(q)),\hat N(\gamma(q))\right\rangle}_{\text{componente di \( \vec G \) normale a \(S\)}} \underbrace{\left\lVert\frac{\partial\gamma}{\partial q^1}(p)\wedge\dots\wedge \frac{\partial\gamma}{\partial q^{n - 1}}(p)\right\rVert}_{\substack{\text{misura dell'\((n-1)\)-edro}\\\text{generato da \( \frac{\partial\gamma}{\partial q^1}(q),\dots,\frac{\partial\gamma}{\partial q^{n - 1}}(q) \)}}}\,\lambda^{n - 1}(\mathrm dq)
\] in dimensione \( n \) generica.
Ma c'è di più: nelle formule scritte qui sopra non c'è niente che faccia riferimento alla struttura di \( (\mathbb R^n,\delta) \) (cioè di \( \mathbb R^n \) con la metrica piatta). In altre parole tutto ciò vale per una sottovarietà orientata di codimensione \( 1 \) di una qualsiasi varietà riemanniana (orientata una e orientata l'altra).
"marco2132k":Questo è esattamente quello che anche io penso sia vero, e
\[
\Phi_S(\vec G) = \int_V\underbrace{\left\langle\vec G(\gamma(q)),\hat N(\gamma(q))\right\rangle}_{\text{componente di \( \vec G \) normale a \(S\)}} \underbrace{\left\lVert\frac{\partial\gamma}{\partial q^1}(p)\wedge\dots\wedge \frac{\partial\gamma}{\partial q^{n - 1}}(p)\right\rVert}_{\substack{\text{misura dell'\((n-1)\)-edro}\\\text{generato da \( \frac{\partial\gamma}{\partial q^1}(q),\dots,\frac{\partial\gamma}{\partial q^{n - 1}}(q) \)}}}\,\lambda^{n - 1}(\mathrm dq)
\] in dimensione \( n \) generica.
Ma c'è di più: nelle formule scritte qui sopra non c'è niente che faccia riferimento alla struttura di \( (\mathbb R^n,\delta) \) (cioè di \( \mathbb R^n \) con la metrica piatta). In altre parole tutto ciò vale per una sottovarietà orientata di codimensione \( 1 \) di una qualsiasi varietà riemanniana (orientata una e orientata l'altra).
Mi chiederei cioè se è vero cheQuesto è vero, no? Stai usando la definizione di prodotto scalare su \(\bigwedge^* V\) (oggetto da cui sono sia eccitato che spaventato) data con la stea de Ocio.
\[ \left\langle \omega,v_1\wedge\dots\wedge v_D\right\rangle = \lVert v_1\wedge\dots\wedge v_D\rVert \] per \( D \) vettori di uno spazio vettoriale \( D \)-dimensionale orientato equipaggiato con un prodotto scalare e con una forma di volume \( \omega \).
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