Il centro del gruppo simmetrico.

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Consideriamo il gruppo simmetrico \(S_n \) per \( n \geq 1 \).
(a) Sia \( \omega \in S_n \) e \( \tau =(i_1 i_2 \ldots i_k) \) un k-ciclo per \( k \leq n \). Calcolare \( \omega \tau \omega^{-1} \)
(b) Calcolare \( Z(S_n)= \{ \omega \in S_n | \omega \tau = \tau \omega, \forall \tau \in S_n \} \).

Edit:
Allora nel punto (a) ho dimostrato che \( \omega \tau \omega^{-1} = (\omega(i_1) \omega( i_2) \ldots \omega(i_k))\).
Il punto (b) lo svolgo così dunque
\( \tau = (i_1 i_2 \ldots i_k) \), notiamo che \(k \leq n \) siccome \( \tau \in S_n \). Pertanto abbiamo che
\( \omega \in Z(S_n) \) se e solo se \( \omega (i_1 i_2 \ldots i_k) \omega^{-1}= (i_1 i_2 \ldots i_k) \)
Per il punto (a) segue che \( \omega = id \).


Le soluzioni invece mi dicono che con \(n=1,2 \) allora \( Z(S_n)= S_n \), e quindi non capisco dove sta il mio errore nella dimostrazione.

[apatriarca]

Credo che il principale problema del tuo ragionamente sia nel pensare che due cicli siano uguali solo se ogni numero corrisponde.. Come piccolo esempio, hai che \( (1\;2\;3) = (2\;3\;1). \) Non tutte le permutazioni di \(S_n\) sono inoltre dei cicli.

Detto questo hai che \(S_1 = \{ (1) \}\) e \(S_2 = \{ (1), (1\;2) \}\). È insomma abbastanza evidente che \(Z(S_n) = S_n\) in questi due casi particolari.

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Hai ragione,
Proviamo così
supponiamo per assurdo che per \( n \geq 3 \) esiste un \( \sigma \in Z(S_n) \) tale che \( \sigma \neq id \), allora vuol dire che esistono almeno due indici \(i,j \in \{ 1,\ldots,n\} \) tale che \( \sigma(i)=j \). Siccome \( n \geq 3 \) allora esiste \( k \in \{1,\ldots,n\} \setminus \{ i,j\} \). Allora posto \( \tau = (i \ \ k ) \in S_n \) abbiamo che \( \tau \sigma = \sigma \tau \), ma
\[ \tau \sigma (i) = \tau (j) = j \neq \sigma (k) = \sigma \tau (i) \]
Contraddizione!